§ 15. Кеплерова задача

Важнейшим случаем центральных полей являются поля, в которых потенциальная энергия обратно пропорциональна и соответственно силы обратно пропорциональны . Сюда относятся ньютоновские поля тяготения и кулоновские электростатические поля; первые, как известно, имеют характер притяжения, а вторые могут быть как полями притяжения, так и отталкивания. Рассмотрим сначала поле притяжения, в котором

с положительной постоянной а. График «эффективной» потенциальной энергии

имеет вид, изображенный на рис. 10. При она обращается в а при стремится к нулю со стороны отрицательных значений; при она имеет минимум, равный

Из этого графика сразу очевидно, что при движение частицы будет инфинитным, а при — финитным.

Форма траектории получается с помощью общей формулы (14,7). Подставляя в нее и производя элементарное интегрирование, получим:

Выбирая начало отсчета угла так, чтобы и вводя обозначения

перепишем формулу для траектории в виде

Это есть уравнение конического сечения с фокусом в начале координат; — так называемые параметр и эксцентриситет орбиты. Сделанный нами выбор начала отсчета заключается, как видно из (15,5), в том, что точка с является ближайшей к центру (так называемый перигелий орбиты).

Рис. 10

Рис. 11

В эквивалентной задаче двух тел, взаимодействующих по закону (15,1), орбита каждой из частиц тоже представляет собой коническое сечение с фокусом в их общем центре инерции. Из (15,4) видно, что при эксцентриситет , т. е. орбита является эллипсом (рис. 11) и движение финитно в соответствии со сказанным в начале параграфа. Согласно известным формулам аналитической геометрии большая и малая полуоси эллипса

Наименьшее допустимое значение энергии совпадает с (15,3), при этом т. е. эллипс обращается в окружность. Отменим, что большая полуось эллипса зависит только от энергии (но не от момента) частицы. Наименьшее и наибольшее расстояния до центра поля (фокуса эллипса) равны

Эти выражения (с из (15,6) и (15,4)) можно было бы, конечно, получить и непосредственно как корни уравнения

Время обращения по эллиптической орбите, т. е. период движения Т, удобно определить с помощью закона сохранения момента в форме «интеграла площадей» (14,3), Интегрируя это равенство по времени от нуля до Т, получим:

где f — площадь орбиты. Для эллипса и с помощью формул (15,6) находим:

Тот факт, что квадрат периода должен быть пропорционален кубу линейных размеров орбиты, был указан уже в § 10. Отметим также, что период зависит только от энергии частицы.

При ЕО движение инфинитно. Если то эксцентриситет т. е. траектория является гиперболой, огибающей центр поля (фокус), как показано на рис. 12. Расстояние перигелия от центра

где

— «полуось» гиперболы.

Рис. 12

В случае же Е = 0 эксцентриситет , т. е. частица движется по параболе, с расстоянием перигелия . Этот случай осуществляется, если частица начинает свое движение из состояния покоя на бесконечности.

Зависимость координат частицы от времени при движении по орбите может быть найдена с помощью общей формулы (14,6), Она может быть представлена в удобной параметрическом виде следующим образом.

Рассмотрим сначала эллиптические орбиты.

Вводя согласно (15,4), (15,6), напишем интеграл (14,6), определяющий время, в виде

С помощью естественной подстановки

этот интеграл приводится к виду

Выбирая начало отсчета времени так, чтобы обратить в нуль, получим окончательно следующее параметрическое представление зависимости от

(15,10)

(в момент частица находится в перигелии). Через тот же параметр можно выразить и декартовы координаты частицы (оси х и у направлены соответственно по большой и малой полуосям эллипса). Из (15.5) и (15.10) имеем:

а у найдем, как Окончательно:

Полному обороту по эллипсу соответствует изменение параметра g от нуля до

Совершенно аналогичные вычисления для гиперболических траекторий приводят к результату

где параметр I пробегает значения от до

Обратимся к движению в поле отталкивания, в котором

(15,13)

В этом случае эффективная потенциальная энергия

монотонно убывает от до нуля при изменении от нуля до Энергия частицы может быть только положительной и движение всегда инфинитно.

Все вычисления для этого случая в точности аналогичны произведенным выше. Траектория является гиперболой

(15,14)

( определяются прежними формулами (15,4)). Она проходит мимо центра поля, как показано на рис. 13. Расстояние перигелия

Зависимость от времени дается параметрическими уравнениями

(15,16)

Рис. 13

В заключение параграфа укажем, что при движении в поле (с любым знаком ) имеется интеграл движения, специфический именно для этого поля. Легко проверить непосредственным вычислением, что величина

(15,17)

Действительно, ее полная производная по времени равна

или, подставив :

положив здесь согласно уравнениям движения , мы найдем, что это выражение обращается в нуль.

Сохраняющийся вектор (15,17). направлен вдоль большой оси от фокуса к перигелию, а по величине равен . В этом проще всего молено убедиться, рассмотрев его значение в перигелии.

Подчеркнем, что интеграл движения (15,17), как и интегралы М и Е, является однозначной, функцией состояния (положения и скорости) частицы. Мы увидим в § 50, что появление такого дополнительного однозначного интеграла связано с так называемым вырождением движения.

Задачи

1. Найти зависимость координат частицы от времени при движении в поле с энергией (по параболе).

Решение. В интеграле

делаем подстановку

и 8 результате получаем следующее параметрическое представление искомой зависимости:

Параметр пробегает значения от до

2. Проинтегрировать уравнения движения материальной точки в центральном поле

Решение. По формулам (14,6), (14,7) с соответствующим выбором начала отсчета и t находим:

Во всех трех случаях

В случаях б) и в) частица «падает» на центр по траектории, приближающейся к началу координат при Падение с заданного расстояния происходит за конечное время, равное

3. При добавлении к потенциальной энергии малой добавки траектории финитного движения перестают быть замкнутыми и при каждом обороте перигелий орбиты смещается на малую угловую величину Определить для случаев а) б

Решение. При изменении от до и снова до угол меняется на величину, даваемую формулой (14,10), которую представим в виде

(с целью избежать ниже фиктивно расходящихся интегралов).

Положим и разложим подынтегральное значение по степеням ; нулевой члеь разложения дает а член первого порядка — искомое смешение

где от интегрирования по мы перешли к интегрированию по вдоль траектории «невозмущенного» движения.

В случае а) интегрирование в (1) тривиалььо и дает:

( — параметр невозмущенного эллипса из (15,4)).. В случае б) и, взяв из (15,5), получим: