§ 8. Центр инерции

Импульс замкнутой механической системы имеет различные значения по отношению к различным (инерциальным) системам отсчета. Если система отсчета К движется относительно системы отсчета К со скоростью V, то скорости частиц по отношению к этим системам связаны соотношением Поэтому связь между значениями Р и Р' импульса в этих системах дается формулой

или

В частности, всегда существует такая система отсчета в которой полный импульс обращается в нуль.

Положив в (8,1) найдем, что скорость этой системы отсчета равна

Если полный импульс механической системы равен нулю, то говорят, что она покоится относительно соответствующей системы отсчета. Это является вполне естественным обобщением понятия покоя отдельной материальной точки. Соответственно скорость V, даваемая формулой (8,2), приобретает смысл скорости «движения как целого» механической системы с отличным от нуля импульсом. Мы видим, таким образом, что закон сохранения импульса позволяет естественным образом сформулировать понятия покоя и скорости механической системы как целого.

Формула (8,2) показывает, что связь между импульсом Р и скоростью V системы как целого такая же, какая была бы между импульсом и скоростью одной материальной точки с массой та, равной сумме масс всех частиц в системе. Это обстоятельство можно сформулировать как утверждение об аддитивности массы.

Правая сторона формулы (8,2) может быть представлена как полная производная по времени от выражения

Можно сказать, что скорость системы как целого есть скорость перемещения в пространстве точки, радиус-вектор которой дается формулой (8,3). Такую точку называют центром инерции системы.

Закон сохранения импульса замкнутой системы можно сформулировать как утверждение о том, что ее центр инерции движется прямолинейно и равномерно. В таком виде это есть обобщение закона инерции, который был выведен в § 3 для одной свободной материальной точки, «центр инерции» которой совпадает с ней самой.

При изучении механических свойств замкнутой системы естественно пользоваться той системой отсчета, в которой ее центр инерции покоится. Тем самым исключается из рассмотрения равномерное и прямолинейное движение системы как целого.

Энергию покоящейся как целое механической системы обычно называют ее внутренней энергией . Она включает в себя кинетическую энергию относительного движения частиц в системе и потенциальную энергию их взаимодействия.

Полная же энергия системы, движущейся как целое со скоростью V, может быть представлена в виде:

Хотя эта формула довольно очевидна, дадим ее прямой вывод. Энергии механической системы в двух системах отсчета связаны соотношением

ИЛИ

Этой формулой определяется закон преобразования энергии при переходе от одной системы отсчета к другой, подобно тому как для импульса этот закон дается формулой (8,1). Если в системе К центр инерции покоится, то и мы возвращаемся к формуле (8,4).

Задача

Найти закон преобразования действия при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Решение. Функция Лагранжа, равная разности кинетической и потенциальной энергий, очевидно, преобразуется согласно формуле, аналогичной (8,5):

Интегрируя это равенство по времени, найдем искомый закон преобразования действия:

где R' — радиус-вектор центра инерции в системе К'.