§ 37. Асимметрический волчок

Применим уравнения Эйлера к более сложной задаче о свободном вращении асимметрического волчка, у которого все три момента инерции различны. Для определенности будем считать, что

Два интеграла уравнений Эйлера известны заранее. Они даются законами сохранения энергии и момента и выражаются равенствами

где энергия Е и абсолютная величина момента М — заданные постоянные.

Эти же два равенства, выраженные через компоненты вектора М, имеют вид

Уже отсюда можно сделать некоторые заключения о характере движения волчка. Для этого заметим, что уравнения (37,3) и (37,4) представляют собой, геометрически, в осях , уравнения соответственно поверхности эллипсоида с полуосями

и сферы с радиусом М. При перемещении вектора М (относительно осей инерции волчка) его конец движется вдоль линии пересечения указанных поверхностей (на рис. 51 изображен ряд таких линий пересечения эллипсоида со сферами различных радиусов).

Рис. 51.

Самое наличие пересечения обеспечивается очевидными неравенствами

геометрически означающими, что радиус сферы (37,4) лежит между наименьшей и наибольшей из полуосей эллипсоида (37,3).

Проследим за изменением характера этих «траекторий» конца вектора М по мере изменения величины М (при заданной энергии Е).

Когда лишь немногим превышает сфера пересекает эллипсоид по двум замкнутым маленьким кривым, окружающим ось вблизи соответствующих двух полюсов эллипсоида (при эти кривые стягиваются в точки — полюсы). По мере увеличения кривые расширяются, а при превращаются в две плоские кривые (эллипсы), пересекающиеся друг с другом в полюсах эллипсоида на оси При дальнейшем увеличении вновь возникают две раздельные замкнутые траектории, но окружающие уже полюсы на оси при они стягиваются в эти две точки.

Отметим, прежде всего, что замкнутость траекторий означает периодичность перемещения вектора М по отношению к телу волчка; за время периода вектор М описывает некоторую коническую поверхность, возвращаясь в прежнее положение.

Далее отметим существенно различный характер траекторий, близких к различным полюсам эллипсоида. Вблизи осей траектории расположены целиком в окрестности полюсов, а траектории, проходящие вблизи полюсов на оси в своем дальнейшем ходе удаляются на большие расстояния от этих точек. Такое различие соответствует разному характеру устойчивости вращения волчка вокруг его трех осей инерций. Вращение вокруг осей (отвечающих наибольшему, и наименьшему из трех моментов инерции волчка) устойчиво в том смысле, что при малом отклонении от этих состояний волчок будет продолжать совершать движение, близкое к первоначальному. Вращение же вокруг оси неустойчиво; достаточно малого отклонения, чтобы возникло движение, уводящее волчок в положения, далекие от первоначального.

Для определения зависимости компонент Q (или пропорциональных им компонент М) от времени обратимся к уравнениям Эйлера (36,5). Выразим через из двух уравнений (37,2), (37,3)

и подставив во второе из уравнений (36,5), найдем:

Разделяя в этом уравнении переменные и интегрируя, получим функцию в виде эллиптического интеграла.

При приведении его к стандартному виду будем считать для определенности, что

(в обратном случае во всех следующих ниже формулах надо переставить индексы 1 и 3). Вводим вместо новые переменные

и положительный параметр согласно

Тогда получим:

(начало отсчета времени условно выбираем в момент, когда ). При обращении этого интеграла возникает, как известно, одна из эллиптических функций Якоби

чем и определяется зависимость от времени. Функции выражаются алгебраически через согласно равенствам (37,6). Учитывая определение двух других эллиптических функций

получим окончательно следующие формулы:

Функции (37,10) — периодические, причем их период по переменной равен, как известно, величине , где К есть полный эллиптический интеграл первого рода:

Период же по времени дается, следовательно, выражением

(37,12)

По истечении этого времени вектор Q возвращается в свое начальное положение относительно осей волчка. (Самый же волчок при этом отнюдь не возвращается в свое прежнее положение относительно неподвижной системы координат — см. ниже.)

При формулы (37,10), разумеется, приводятся к формулам, полученным в предыдущем параграфе для симметрического волчка. Действительно, при параметр эллиптические функции вырождаются в круговые:

и мы возвращаемся к формулам (36,7).

При имеем: , т. е. вектор Q постоянно направлен вдоль оси инерции ; этот случай соответствует равномерному вращению волчка вокруг оси Аналогичным образом при (при этом имеем равномерное вращение вокруг оси .

Перейдем к определению абсолютного (по отношению к неподвижной системе координат X, У, Z) движения волчка в пространстве как функции времени. Для этого вводим эйлеровы углы между осями волчка и осями X, У, Z, выбрав при этом неподвижную ось Z вдоль направления постоянного вектора М. Поскольку полярный угол и азимут направления Z по отношению к осям равны соответственно и (см. примечание на стр. 144), то, проектируя вектор М на оси , получим:

(37,13)

Отсюда

(37,14)

и, используя формулы (37,10), найдем:

чем и определяется зависимость углов и от времени; вместе с компонентами вектора Q они являются периодическими функциями с периодом (37,12).

Угол в формулы (37,13) не входит, и для его вычисления надо обратиться к формулам (35,1), выражающим компоненты Q через производные по времени эйлеровых углов, Исключая из равенств

получим:

после чего, используя формулы (37,13), найдем:

(37,16)

Отсюда функция определяется квадратурой, но подынтегральное выражение содержит сложным образом эллиптические функции. Путем ряда довольно сложных преобразований этот интеграл может быть выражен через так называемые тэта-функции; не приводя вычислений, укажем лишь их окончательный результат.

Функция может быть представлена (с точностью до произвольной аддитивной постоянной) в виде суммы двух членов

(37,17)

один из которых дается формулой

(37,18)

где — тэта-функция, а — вещественная постоянная, определяющаяся равенством

(37,19)

(К и Т — из (37,11), (37,12)). Функция в правой стороне (-периодическая с периодом , так что изменяется на за время Т. Второе слагаемое в (37,17) дается формулой

(37,20)

Эта функция испытывает приращение за время Т. Таким, образом, движение по углу представляет собой совокупность двух периодических изменений, причем один из периодов (Т) совпадает с периодом изменения углов и , а другой (Т) — несоизмерим с первым. Последнее обстоятельство приводит к тому, что при своем движении волчок никогда не возвращается, строго говоря, в свое первоначальное положение.

Задачи

1. Определить свободное вращение волчка вокруг оси, близкой к оси инерции

Решение. Пусть к направлению М близка ось Тогда компоненты являются малыми величинами, а компонента (с точностью до величин первого порядка малости). С этой же точностью первые два из уравнений Эйлера (36,5) напишутся в виде

где мы ввели постоянную . Следуя общим правилам, - ищем решение для в виде, пропорциональном и для частоты <о получаем значение

Для самих же величин получим

где а — произвольная малая постоянная. Этими формулами определяется движение вектора М относительно волчка; в построении на рис. 51 конец вектора М описывает (с частотой ) малый эллипс вокруг полюса на оси Хз-Для определения абсолютного движения волчка в пространстве определяем его эйлеровы углы. В данном случае угол наклона оси к оси Z (направлению М) мал, и согласно формулам (37,14)

подставляя (2), получаем:

Для вычисления угла замечаем, что согласно третьей из формул (35,1) при

Поэтому

(произвольную постоянную интегрирования опускаем).

Более наглядное представление о характере движения волчка получается, если проследить непосредственно за изменением направления его трех осей инерции (единичные векторы вдоль этих осей обозначим посредством ). Векторы равномерно вращаются в плоскости XY с частотой одновременно испытывая малые колебания с частотой в поперечном направлении; эти колебания определяются -компонентами указанных векторов, для которых имеем:

Для вектора имеем с той же точностью:

(полярный угол и азимут направления по отношению к осям X, У, Z равны ; см. примечание на стр. 144). Далее пишем (используя при этом формулы (37,13)):

или окончательно:

Аналогичным образом

Отсюда видно, что движение вектора представляет собой наложение двух вращений вокруг оси Z с частотами

2. Определить свободное вращение волчка при

Решение. Этот случай отвечает в построении на рис. 51 перемещению конца вектора М по кривой, проходящей через полюс на оси

Уравнение (37,7) принимает вид

где введено обозначение

Интегрируя это уравнение, а затем воспользовавшись формулами (37,6), получим:

Для описания абсолютного движения волчка вводим эйлеровы углы, определив 0 как угол между осью Z (направлением М) и осью инерции волчка (я не как в тексте). В формулах (37,14), (37,16), связывающих компоненты вектора Q с эйлеровыми углами, надо при этом сделать циклическую перестановку индексов Подставив затем в эти формулы выражения (1), получим:

Из полученных формул видно, что вектор О асимптотически (при ) приближается к оси которая одновременно асимптотически приближается к неподвижной оси Z.