Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 37. Асимметрический волчокПрименим уравнения Эйлера к более сложной задаче о свободном вращении асимметрического волчка, у которого все три момента инерции различны. Для определенности будем считать, что
Два интеграла уравнений Эйлера известны заранее. Они даются законами сохранения энергии и момента и выражаются равенствами
где энергия Е и абсолютная величина момента М — заданные постоянные. Эти же два равенства, выраженные через компоненты вектора М, имеют вид
Уже отсюда можно сделать некоторые заключения о характере движения волчка. Для этого заметим, что уравнения (37,3) и (37,4) представляют собой, геометрически, в осях
и сферы с радиусом М. При перемещении вектора М (относительно осей инерции волчка) его конец движется вдоль линии пересечения указанных поверхностей (на рис. 51 изображен ряд таких линий пересечения эллипсоида со сферами различных радиусов).
Рис. 51. Самое наличие пересечения обеспечивается очевидными неравенствами
геометрически означающими, что радиус сферы (37,4) лежит между наименьшей и наибольшей из полуосей эллипсоида (37,3). Проследим за изменением характера этих «траекторий» конца вектора М по мере изменения величины М (при заданной энергии Е). Когда Отметим, прежде всего, что замкнутость траекторий означает периодичность перемещения вектора М по отношению к телу волчка; за время периода вектор М описывает некоторую коническую поверхность, возвращаясь в прежнее положение. Далее отметим существенно различный характер траекторий, близких к различным полюсам эллипсоида. Вблизи осей Для определения зависимости компонент Q (или пропорциональных им компонент М) от времени обратимся к уравнениям Эйлера (36,5). Выразим
и подставив во второе из уравнений (36,5), найдем:
Разделяя в этом уравнении переменные и интегрируя, получим функцию При приведении его к стандартному виду будем считать для определенности, что
(в обратном случае во всех следующих ниже формулах надо переставить индексы 1 и 3). Вводим вместо
и положительный параметр
Тогда получим:
(начало отсчета времени условно выбираем в момент, когда
чем и определяется зависимость
получим окончательно следующие формулы:
Функции (37,10) — периодические, причем их период по переменной
Период же по времени дается, следовательно, выражением
По истечении этого времени вектор Q возвращается в свое начальное положение относительно осей волчка. (Самый же волчок при этом отнюдь не возвращается в свое прежнее положение относительно неподвижной системы координат — см. ниже.) При
и мы возвращаемся к формулам (36,7). При Перейдем к определению абсолютного (по отношению к неподвижной системе координат X, У, Z) движения волчка в пространстве как функции времени. Для этого вводим эйлеровы углы
Отсюда
и, используя формулы (37,10), найдем:
чем и определяется зависимость углов Угол
получим:
после чего, используя формулы (37,13), найдем:
Отсюда функция Функция
один из которых дается формулой
где
(К и Т — из (37,11), (37,12)). Функция в правой стороне (
Эта функция испытывает приращение Задачи1. Определить свободное вращение волчка вокруг оси, близкой к оси инерции Решение. Пусть к направлению М близка ось
где мы ввели постоянную
Для самих же величин
где а — произвольная малая постоянная. Этими формулами определяется движение вектора М относительно волчка; в построении на рис. 51 конец вектора М описывает (с частотой
подставляя (2), получаем:
Для вычисления угла
Поэтому
(произвольную постоянную интегрирования опускаем). Более наглядное представление о характере движения волчка получается, если проследить непосредственно за изменением направления его трех осей инерции (единичные векторы вдоль этих осей обозначим посредством
Для вектора
(полярный угол и азимут направления
или окончательно:
Аналогичным образом
Отсюда видно, что движение вектора 2. Определить свободное вращение волчка при Решение. Этот случай отвечает в построении на рис. 51 перемещению конца вектора М по кривой, проходящей через полюс на оси Уравнение (37,7) принимает вид
где введено обозначение Интегрируя это уравнение, а затем воспользовавшись формулами (37,6), получим:
Для описания абсолютного движения волчка вводим эйлеровы углы, определив 0 как угол между осью Z (направлением М) и осью инерции волчка
Из полученных формул видно, что вектор О асимптотически (при
|
1 |
Оглавление
|