Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ГЛАВА VII. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ§ 40. Уравнения ГамильтонаФормулирование законов механики с помощью функции Лагранжа (и выводимых из нее уравнений Лагранжа) предполагает описание механического состояния системы путем задания ее обобщенных координат и скоростей. Такое описание, однако, не является единственно возможным. Ряд преимуществ, в особенности при исследовании различных общих вопросов механики, представляет описание с помощью обобщенных координат и импульсов системы. В связи с этим возникает вопрос о нахождении уравнений движения, отвечающих такой формулировке механики. Переход от одного набора независимых переменных к другому можно совершить путем преобразования, известного в математике под названием преобразования Лежандра. В данном случае оно сводится к следующему. Полный дифференциал функции Лагранжа как функции координат и скоростей равен
Это выражение можно написать в виде
поскольку производные Переписав теперь второй член в (40,1) в виде
перенеся полный дифференциал
Величина, стоящая под знаком дифференциала представляет собой энергию системы (см. § 6); выраженная через координаты и импульсы, она называется гамильтоновой функцией системы
Из дифференциального равенства
следуют уравнения
Это — искомые уравнения движения в переменных Полная производная от функции Гамильтона по времени
При подстановке сюда
В частности, если функция Гамильтона не зависит от времени явно, то Наряду с динамическими переменными q, q или q,
после чего вместо (40,3) получим:
Отсюда находим соотношение
связывающее частные производные по параметру Этот результат может быть представлен и в другом аспекте. Пусть функция Лагранжа имеет вид
Заметим, что в преобразовании от (40,1) к (40,3) мы не писали члена с
Задачи1. Найти функцию Гамильтона для одной материальной точки в декартовых, цилиндрических и сферических координатах. Ответ. В декартовых координатах х,
В цилиндрических координатах
В сферических координатах
2. Найти функцию Гамильтона частицы в равномерно вращающейся системе отсчета. Решение. Из (39,11) и (39,10) получим:
3. Найти функцию Гамильтона системы из одной частицы с массой М и Решение Энергия Е получается из найденной в задаче к § 13 функции Лагранжа изменением знака перед U. Обобщенные импульсы:
Отсюда имеем:
Подставляя в Е, найдем:
|
1 |
Оглавление
|