ГЛАВА VII. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

§ 40. Уравнения Гамильтона

Формулирование законов механики с помощью функции Лагранжа (и выводимых из нее уравнений Лагранжа) предполагает описание механического состояния системы путем задания ее обобщенных координат и скоростей. Такое описание, однако, не является единственно возможным. Ряд преимуществ, в особенности при исследовании различных общих вопросов механики, представляет описание с помощью обобщенных координат и импульсов системы. В связи с этим возникает вопрос о нахождении уравнений движения, отвечающих такой формулировке механики.

Переход от одного набора независимых переменных к другому можно совершить путем преобразования, известного в математике под названием преобразования Лежандра. В данном случае оно сводится к следующему.

Полный дифференциал функции Лагранжа как функции координат и скоростей равен

Это выражение можно написать в виде

(40,1)

поскольку производные являются, по определению, обобщенными импульсами, в силу уравнений Лагранжа.

Переписав теперь второй член в (40,1) в виде

перенеся полный дифференциал в левую сторону равенства и изменив все знаки, получим из (40,1):

Величина, стоящая под знаком дифференциала представляет собой энергию системы (см. § 6); выраженная через координаты и импульсы, она называется гамильтоновой функцией системы

Из дифференциального равенства

следуют уравнения

Это — искомые уравнения движения в переменных и q, так называемые уравнения Гамильтона. Они составляют систему дифференциальных уравнений первого порядка для неизвестных функций заменяющих собой s уравнений второго порядка лагранжевого метода. Ввиду их формальной простоты и симметрии эти уравнения называют также каноническими.

Полная производная от функции Гамильтона по времени

При подстановке сюда из уравнений (40,4) последние два члена взаимно сокращаются, так что

В частности, если функция Гамильтона не зависит от времени явно, то т. е. мы снова приходим к закону сохранения энергии.

Наряду с динамическими переменными q, q или q, функции Лагранжа и Гамильтона содержат различные параметры — величины, характеризующие свойства самой механической системы или действующего на нее внешнего поля. Пусть X — такой параметр. Рассматривая его как переменную величину, будем иметь вместо (40,1):

после чего вместо (40,3) получим:

Отсюда находим соотношение

связывающее частные производные по параметру , от функций Лагранжа и Гамильтона; индексы у производных указывают, что дифференцирование должно производиться в одном случав при постоянных и q, а в другом — при постоянных q и

Этот результат может быть представлен и в другом аспекте. Пусть функция Лагранжа имеет вид , где V представляет собой малую добавку к основной функций . Тогда соответствующая добавка в функции Гамильтона связана с V посредством

Заметим, что в преобразовании от (40,1) к (40,3) мы не писали члена с учитывающего возможную явную зависимость функции Лагранжа от времени, поскольку последнее играло бы в данном аспекте лишь роль параметра, не имеющего отношения к производимому преобразованию. Аналогично формуле (40,6) частные производные по времени от L и от Н связаны соотношением

Задачи

1. Найти функцию Гамильтона для одной материальной точки в декартовых, цилиндрических и сферических координатах.

Ответ. В декартовых координатах х,

В цилиндрических координатах :

В сферических координатах :

2. Найти функцию Гамильтона частицы в равномерно вращающейся системе отсчета.

Решение. Из (39,11) и (39,10) получим:

3. Найти функцию Гамильтона системы из одной частицы с массой М и частиц с массами , с исключенным движением центра инерции (см. задачу к § 13).

Решение Энергия Е получается из найденной в задаче к § 13 функции Лагранжа изменением знака перед U. Обобщенные импульсы:

Отсюда имеем:

Подставляя в Е, найдем: