Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 45. Канонические преобразованияВыбор обобщенных координат q не ограничен никакими условиями — ими могут быть, любые s величин, однозначно определяющие положение системы в пространстве. Формальный вид уравнений Лагранжа (2,6) не зависит от этого выбора, и в этом смысле можно сказать, что уравнения Лагранжа инвариантны по отношению к преобразованию от координат
(их называют иногда точечными преобразованиями). Наряду с уравнениями Лагранжа при преобразовании (45,1) сохраняют, разумеется, свою форму (40,4) и уравнения Гамильтона. Последние, однако, допускают в действительности гораздо более широкий класс преобразований. Это обстоятельство естественным образом связано с тем, что в гамильтоновом методе импульсы
Такое расширение класса допустимых преобразований является одним из существенных преимуществ гамильтонового метода механики. Однако отнюдь не при произвольных преобразованиях вида (45,2) уравнения движения сохраняют свой канонический вид. Выведем теперь условия, которым должно удовлетворять преобразование, для того чтобы уравнения движения в новых переменных Р, Q имели вид
с некоторой новой функцией Гамильтона К формулам для канонических преобразований можно прийти следующим путем. В конце § 43 было показано, что уравнения Гамильтона могут быть получены из принципа наименьшего действия, представленного в форме
(причем варьируются независимо все координаты и импульсы). Для того чтобы новые переменные Р и Q тоже удовлетворяли уравнениям Гамильтона, для них тоже должен быть справедлив принцип наименьшего действия
Но два принципа (45,4) и (45,5) заведомо эквивалентны друг другу при условии, что их подынтегральные выражения отливаются лишь на полный дифференциал произвольной функции F координат, импульсов и времени; тогда разность между обоими интегралами будет несущественной при варьировании постоянной (разность значений F на пределах интегрирования). Таким образом, положим
Преобразования, удовлетворяющие такому требованию, и называют каноническими). Всякое каноническое преобразование характеризуется своей функцией F, которую называют производящей функцией преобразования. Переписав полученное соотношение в виде
мы видим, что
при этом предполагается, что производящая функция задана как функция старых и новых координат (и времени); Может оказаться удобным выражать производящую функцию не через переменные q и Q, а через старые координаты q и новые импульсы Р. Для вывода формул канонических преобразований в этом случае надо произвести в соотношении (45,6) соответствующее преобразование Лежандра. Именно, переписываем его в виде
Выражение, стоящее под знаком дифференциала в левой стороне равенства, выраженное через переменные q, Р, и является новой производящей функцией. Обозначив ее посредством
Аналогичным образом можно перейти к формулам канонических преобразований, выраженных через производящие функции, зависящие от переменных Отметим, что связь между новой и старой гамильтоновыми функциями всегда выражается одинаковым образом: разность Широта канонических преобразований в значительной степени лишает в гамильтоновом методе понятие обобщенных координат и импульсов их первоначального смысла. Поскольку преобразования (45,2) связывают каждую из величин Р, Q как с координатами q, так и с импульсами Ввиду этой условности терминологии переменные Условие канонической сопряженности можно выразить с помощью скобок Пуассона. Для этого докажем предварительно общую теорему об инвариантности скобок Пуассона по отношению к каноническим преобразованиям. Пусть
В справедливости этого соотношения можно убедиться прямым вычислением с использованием формул канонического преобразования. Можно, однако, обойтись и без вычислений с помощью следующего рассуждения. Прежде всего замечаем, что в канонических преобразованиях (45,7) или (45,8) время играет роль параметра. Поэтому, если мы докажем теорему (45,9) для величин, не зависящих явно от времени, то она будет верна и в общем случае. Рассмотрим теперь чисто формальным образом величину g как гамильтонову функцию некоторой фиктивной системы. Тогда согласно формуле Из формул (42,13) и теоремы (45,9) получим:
Это — записанные с помощью скобок Пуассона условия, которым должны удовлетворять новые переменные, для того чтобы преобразование Интересно отметить, что изменение величин
Если рассматривать эти формулы как преобразование от переменных Это очевидно из выражения
для дифференциала действия
|
1 |
Оглавление
|