§ 49. Адиабатические инварианты

Рассмотрим механическую систему, совершающую одномерное финитное движение и характеризующуюся некоторым параметром , определяющим свойства самой системы или внешнего поля, в котором она находится.

Предположим, что параметр под влиянием каких-либо внешних причин медленно (как говорят, адиабатически) меняется со временем. Под медленным подразумевается такое изменение, при котором мало меняется за время периода движения системы Т:

При постоянном система была бы замкнутой и совершала бы строго периодическое движение с постоянной энергией Е и вполне определенным периодом При переменном параметре система не является замкнутой и ее энергия не сохраняется. Но в силу предположенной медленности изменения скорость изменения энергии будет тоже малой. Если усреднить эту скорость по периоду Т и тем самым сгладить «быстрые» колебания в ее величине, то получающееся таким образом значение определит скорость систематического медленного изменения энергии системы; об этой скорости можно утверждать, что она будет пропорциональна скорости изменения параметра . Это значит, другими словами, что понимаемая в указанном смысле медленно меняющаяся величина Е будет вести себя как некоторая функция от . Зависимость Е от можно представить в виде постоянства некоторой комбинации из Е и . Такую величину, остающуюся постоянной при движении системы с медленно меняющимися параметрами, называют адиабатическим инвариантом.

Пусть -гамильтонова функция системы, зависящая от параметра . Согласно (40,5) скорость изменения энергии системы

Выражение в правой стороне этой формулы зависит не только от медленно меняющейся переменной , но и от быстро меняющихся переменных q и . Для выделения интересующего нас систематического хода изменения энергии надо, согласно сказанному выше, усреднить равенство (49,2) по периоду движения.

При этом ввиду медленности изменения (а с ним и ) можно вынести за знак усреднения:

а в усредняемой функции рассматривать как изменяющиеся величины лишь q и , но не . Другими словами, усреднение производится по такому движению системы, какое имело бы место при заданном постоянном значении .

Запишем усреднение в явном виде как

Согласно уравнению Гамильтона имеем

С помощью этого равенства заменяем интегрирование по времени на интегрирование по координате, причем и период Т, записываем в виде

знаком здесь обозначается интегрирование по полному изменению координаты («вперед» и «назад») за время периода, Таким образом, формула (49,3) принимает вид

Как уже было указано, интегрирования в этой формуле должны производиться по траектории движения при данном постоянном значении . Вдоль такой траектории функция Гамильтона сохраняет постоянное значение Е, а импульс является определенной функцией переменной координаты q и двух постоянных независимых параметров Е и . Понимая импульс именно как такую функцию и дифференцируя равенство по параметру , получим:

Подставив это в верхний интеграл в (49,5) и написав в нижнем подынтегральную функцию в виде имеем:

Это равенство можно окончательно переписать в виде

где I обозначает интеграл

взятый по траектории движения при заданных Е и Этот результат показывает, что величина I остается в рассматриваемом приближении постоянной при изменении параметра X, т. е. является адиабатическим инвариантом.

Величина I является функцией энергии системы (и параметра К). Ее частная производная по энергии определяет период движения: согласно (49,4) имеем

или иначе:

где — частота колебаний системы.

Интегралу (49,7) может быть приписан наглядный геометрический смысл, если воспользоваться понятием о фазовой траектории системы. В данном случае (одна степень свободы) фазовое пространство сводится к двумерной системе координат p, q, и фазовая траектория системы, совершающей периодическое движение, представляет собой замкнутую кривую в этой плоскости. Интеграл (49,7), взятый вдоль этой кривой, представляет собой заключенную внутри нее площадь. Он может быть написан и как двумерный интеграл по площади:

(49,10)

В качестве примера определим адиабатический инвариант для одномерного осциллятора. Его функция Гамильтона

(49,11)

где — собственная частота осциллятора.

Уравнение фазовой траектории дается законом сохранения энергии

Это есть эллипс с полуосями и его площадь (деленная на )

(49,12)

Адиабатическая инвариантность этой величины означает, что при медленном изменении параметров осциллятора его энергия меняется пропорционально частоте.