Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 49. Адиабатические инвариантыРассмотрим механическую систему, совершающую одномерное финитное движение и характеризующуюся некоторым параметром Предположим, что параметр
При постоянном Пусть
Выражение в правой стороне этой формулы зависит не только от медленно меняющейся переменной При этом ввиду медленности изменения
а в усредняемой функции Запишем усреднение в явном виде как
Согласно уравнению Гамильтона
С помощью этого равенства заменяем интегрирование по времени на интегрирование по координате, причем и период Т, записываем в виде
знаком
Как уже было указано, интегрирования в этой формуле должны производиться по траектории движения при данном постоянном значении
Подставив это в верхний интеграл в (49,5) и написав в нижнем подынтегральную функцию в виде
Это равенство можно окончательно переписать в виде
где I обозначает интеграл
взятый по траектории движения при заданных Е и Величина I является функцией энергии системы (и параметра К). Ее частная производная по энергии определяет период движения: согласно (49,4) имеем
или иначе:
где Интегралу (49,7) может быть приписан наглядный геометрический смысл, если воспользоваться понятием о фазовой траектории системы. В данном случае (одна степень свободы) фазовое пространство сводится к двумерной системе координат p, q, и фазовая траектория системы, совершающей периодическое движение, представляет собой замкнутую кривую в этой плоскости. Интеграл (49,7), взятый вдоль этой кривой, представляет собой заключенную внутри нее площадь. Он может быть написан и как двумерный интеграл по площади:
В качестве примера определим адиабатический инвариант для одномерного осциллятора. Его функция Гамильтона
где Уравнение фазовой траектории дается законом сохранения энергии
Это есть эллипс с полуосями
Адиабатическая инвариантность этой величины означает, что при медленном изменении параметров осциллятора его энергия меняется пропорционально частоте.
|
1 |
Оглавление
|