§ 22. Вынужденные колебания

Перейдем к рассмотрению колебаний в системе, на которую действует некоторое переменное внешнее поле; такие колебания называют вынужденными в отличие от рассмотренных в предыдущем параграфе так называемых свободных колебаний. Поскольку колебания предполагаются по-прежнему малыми, то тем самым подразумевается, что внешнее поле достаточно слабое, в противном случае оно могло бы вызвать слишком большое смещение х.

В этом случае наряду с собственной потенциальной энергией система обладает еще потенциальной энергией связанной с действием внешнего поля. Разлагая этот дополнительный член в ряд по степеням малой величины х, получим:

Первый член является функцией только от времени и потому может быть опущен в лагранжевой функции (как полная производная по t от некоторой другой функции времени) Во втором члене есть внешняя «сила», действующая на систему в положении равновесия и являющаяся заданной функцией времени; обозначим ее как F(t). Таким образом, в потенциальной энергии появляется член так что функция Лагранжа системы будет:

Соответствующее уравнение движения есть

или

где мы снова ввели частоту со свободных колебаний.

Как известно, общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами получается в виде суммы двух выражений: где — общее решение однородного уравнения, а — частный интеграл неоднородного уравнения. В данном случае представляет собой рассмотренные в предыдущем параграфе свободные колебания.

Рассмотрим представляющий особый интерес случай, когда вынуждающая сила тоже является простой периодической функцией времени с некоторой частотой :

Частный интеграл уравнения (22,2) ищем в виде с тем же периодическим множителем. Подстановка в уравнение дает: прибавляя решение однородного уравнения, получим общий интеграл в виде

Произвольные постоянные определяются из начальных условий.

Таким образом, под действием периодической вынуждающей силы система совершает движение, представляющее собой совокупность двух колебаний — с собственной частотой системы и с частотой вынуждающей силы .

Решение (22,4) неприменимо в случае так называемого резонанса, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой системы. Для нахождения общего решения уравнения движения в этом случае перепишем выражение (22,4) с соответствующим переобозначением постоянных в виде

При второй член дает неопределенность вида 0/0. Раскрывая ее по правилу Лопиталя, получим:

Таким образом, в случае резонанса амплитуда колебаний растет линейно со временем (до тех пор, пока колебания не перестанут быть малыми и вся излагаемая теория перестанет быть применимой).

Выясним еще, как выглядят малые колебания вблизи резонанса, когда , где — малая величина. Представим общее решение в комплексном виде, как

Так как величина мало меняется в течение периода множителя то движение вблизи резонанса можно рассматривать как малые колебания, но с переменной амплитудой

Обозначив последнюю через С, имеем:

Представив Л и В соответственно в виде получим:

Таким образом, амплитуда колеблется периодически с частотой , меняясь между двумя пределами

Это явление носит название биений.

Уравнение движения (22,2) может быть проинтегрировано и в общем виде при произвольной вынуждающей силе Это легко сделать, переписав его предварительно в виде

или

где введена комплексная величина

Уравнение (22,8) уже не второго, а первого порядка. Без правой части его решением было бы с постоянной А. Следуя общему правилу, ищем решение неоднородного уравнения в виде и для функции получаем уравнение

Интегрируя его, получим решение уравнения (22,8) в виде

Это и есть искомое общее решение; функция дается мнимой частью выражения (22,10) (деленной на )

Энергия системы, совершающей вынужденные колебания, разумеется, не сохраняется; система приобретает энергию за счет источника внешней силы. Определим полную энергию, передаваемую системе за все время действия силы (от до ), предполагая начальную энергию равной нулю. Согласно формуле (22,10) (с нижним пределом интегрирования вместо нуля и с ) имеем при

С другой стороны, энергия системы как таковой дается выра жением

(22,11)

Подставив сюда , получим искомую передачу энергии в виде

(22,12)

она определяется квадратом модуля компоненты Фурье силы с частотой, равной собственной частоте системы.

В частности, если внешняя сила действует лишь в течение короткого промежутка времени (малого по сравнению с ), то можно положить . Тогда

Этот результат заранее очевиден: он выражает собой тот факт, что кратковременная сила сообщает системе импульс не успев за это время произвести заметного смещения.

Задачи

1. Определить вынужденные колебания системы под влиянием силы если в начальный момент система покоится в положении равновесия для случаев

a) .

где постоянная интегрирования представляет собой значение в момент времени

Ответ: действие постоянной силы приводит к смещению положения равновесия, вокруг которого происходят колебания,

б)

Ответ: .

в)

Ответ:

г)

Ответ:

(при решении удобно писать силу в комплексном виде ).

2. Определить конечную амплитуду колебаний системы после действия внешней силы, меняющейся по закону при при при (рис. 24); до момента система покоится в положении равновесия.

Рис. 24.

Рис. 25

Решение. В интервале времени колебания, удовлетворяю начальному условию, имеют вид

При ищем решение в виде

Из условий непрерывности жил при находим:

При этом амплитуда колебаний

Отметим, что она тем меньше, чем медленнее «включается» сила (т. е. чем больше Т),

3. То же в случае постоянной силы действующей в течение ограни ченного времени Т (рис. 25).

Решение можно найти как в задаче 2, но еще проще воспользоваться формулой (22,10). При имеем свободные колебания вокруг положения при этом

квадрат же модуля дает амплитуду согласно формуле . В результате находим:

4, То же в случае силы, действующей в течение времени от нуля до 7] по закону (рис. 26).

Рис. 26

Рис. 27

Решение. Тем же способом получим:

5. То же в случае силы, меняющейся в течение времени от нуля до по закону (рис. 27).

Решение. Подставив в (22,10)

и проинтегрировав от нуля до Т, получим: