Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 22. Вынужденные колебанияПерейдем к рассмотрению колебаний в системе, на которую действует некоторое переменное внешнее поле; такие колебания называют вынужденными в отличие от рассмотренных в предыдущем параграфе так называемых свободных колебаний. Поскольку колебания предполагаются по-прежнему малыми, то тем самым подразумевается, что внешнее поле достаточно слабое, в противном случае оно могло бы вызвать слишком большое смещение х. В этом случае наряду с собственной потенциальной энергией
Первый член является функцией только от времени и потому может быть опущен в лагранжевой функции (как полная производная по t от некоторой другой функции времени)
Соответствующее уравнение движения есть
или
где мы снова ввели частоту со свободных колебаний. Как известно, общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами получается в виде суммы двух выражений: Рассмотрим представляющий особый интерес случай, когда вынуждающая сила тоже является простой периодической функцией времени с некоторой частотой
Частный интеграл уравнения (22,2) ищем в виде
Произвольные постоянные Таким образом, под действием периодической вынуждающей силы система совершает движение, представляющее собой совокупность двух колебаний — с собственной частотой системы Решение (22,4) неприменимо в случае так называемого резонанса, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой системы. Для нахождения общего решения уравнения движения в этом случае перепишем выражение (22,4) с соответствующим переобозначением постоянных в виде
При
Таким образом, в случае резонанса амплитуда колебаний растет линейно со временем (до тех пор, пока колебания не перестанут быть малыми и вся излагаемая теория перестанет быть применимой). Выясним еще, как выглядят малые колебания вблизи резонанса, когда
Так как величина Обозначив последнюю через С, имеем:
Представив Л и В соответственно в виде
Таким образом, амплитуда колеблется периодически с частотой
Это явление носит название биений. Уравнение движения (22,2) может быть проинтегрировано и в общем виде при произвольной вынуждающей силе
или
где введена комплексная величина
Уравнение (22,8) уже не второго, а первого порядка. Без правой части его решением было бы
Интегрируя его, получим решение уравнения (22,8) в виде
Это и есть искомое общее решение; функция Энергия системы, совершающей вынужденные колебания, разумеется, не сохраняется; система приобретает энергию за счет источника внешней силы. Определим полную энергию, передаваемую системе за все время действия силы (от
С другой стороны, энергия системы как таковой дается выра жением
Подставив сюда
она определяется квадратом модуля компоненты Фурье силы В частности, если внешняя сила действует лишь в течение короткого промежутка времени (малого по сравнению с
Этот результат заранее очевиден: он выражает собой тот факт, что кратковременная сила сообщает системе импульс Задачи1. Определить вынужденные колебания системы под влиянием силы a) где постоянная интегрирования Ответ: б) Ответ: в) Ответ: г) Ответ:
(при решении удобно писать силу в комплексном виде 2. Определить конечную амплитуду колебаний системы после действия внешней силы, меняющейся по закону
Рис. 24.
Рис. 25 Решение. В интервале времени
При
Из условий непрерывности жил при
При этом амплитуда колебаний
Отметим, что она тем меньше, чем медленнее «включается» сила 3. То же в случае постоянной силы Решение можно найти как в задаче 2, но еще проще воспользоваться формулой (22,10). При
квадрат же модуля
4, То же в случае силы, действующей в течение времени от нуля до 7] по закону
Рис. 26
Рис. 27 Решение. Тем же способом получим:
5. То же в случае силы, меняющейся в течение времени от нуля до Решение. Подставив в (22,10)
и проинтегрировав от нуля до Т, получим:
|
1 |
Оглавление
|