Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 24. Колебания молекулЕсли мы имеем дело с системой частиц, взаимодействующих друг с другом, но не находящихся во внешнем поле, то не все ее степени свободы имеют колебательный характер. Типичным примером таких систем являются молекулы. Помимо движений, представляющих собой колебания атомов около их положения равновесия внутри молекулы, молекула как целое может совершать поступательное и вращательное движения. Поступательному перемещению соответствуют три степени свободы. Столько же имеется в общем случае вращательных степеней свободы, так что из При решении механической задачи о колебаниях молекулы целесообразно с самого начала исключить из рассмотрения поступательные и вращательные степени свободы. Чтобы исключить поступательное движение, надо считать равным нулю полный импульс молекулы. Поскольку это условие означает неподвижность центра инерции молекулы, то его можно выразить в виде постоянства трех координат последнего. Положив
в виде
Чтобы исключить вращение молекулы, следует положить равным нулю ее полный момент импульса. Так как момент не является полной производной по времени от какой-либо функции координат, то условие его исчезновения не может быть, вообще говоря, выражено в виде равенства нулю такой функции. Однако случай малых колебаний как раз представляет исключение. В самом деле, снова положив
Условие его исчезновения в этом приближении можно, следовательно, представить в виде
(начало координат может быть при этом выбрано произвольным образом). Нормальные колебания молекулы могут быть классифицированы по характеру движения атомов в них на основании соображений, связанных с симметрией расположения атомов (в положениях равновесия) в молекуле. Для этой цели существует общий метод, основанный на использовании теории групп; он изложен в другом томе этого курса. Здесь же мы рассмотрим лишь некоторые элементарные примеры. Если все В случае линейной молекулы можно различать продольные колебания, сохраняющие ее прямолинейную форму, и колебания, выводящие атомы с прямой. Так как всего движению Задачи1. Определить частоты колебаний линейной трехатомной симметричной молекулы АВА (рис. 28). Предполагается, что потенциальная энергия молекулы зависит только от расстояний Решение. Продольные смещения атомов
С его помощью исключаем
после чего вводим новые координаты
В результате получим:
(
Рис. 28
Рис. 29 Координата
Координата
Поперечные смещения атомов у и
(симметричное колебание изгиба; рис. 28,в). Потенциальную энергию изгиба молекулы пишем в виде
Выражая все смещения
откуда частота
2. То же для молекулы АВА треугольной формы (рис. 29). Решение. В силу (24,1), (24,2) составляющие смещений и атомов по направлениям X и Y (рис. 29) связаны соотношениями
Изменения
Изменение же угла АВА получается проектированием тех же векторов на направления, перпендикулярные к отрезкам АВ и ВА:
Функция Лагранжа молекулы
Вводим новые координаты
Компоненты векторов и выражаются через них согласно
а для функции Лагранжа получим после вычисления:
Отсюда видно, что координата
антисимметричному относительно оси Y ( Координаты же
При 3. То же для линейной несимметричной молекулы ABC (рис. 30). Решение. Продольные
Рис. 30. Потенциальную энергию растяжения и изгиба пишем в виде
для частоты поперечного колебания и к квадратному (по
для частот
|
1 |
Оглавление
|