§ 26. Вынужденные колебания при наличии трения

Исследование вынужденных колебаний при наличии трения вполне аналогично произведенному в § 22 рассмотрению колебаний без трения. Мы остановимся здесь подробно на представляющем самостоятельный интерес случае периодической вынуждающей силы.

Прибавив в правой стороне уравнения (25,1) внешнюю силу и разделив на , получим уравнение движения в виде

Решение этого уравнения удобно находить в комплексной форме, для чего пишем в правой части вместо :

Частный интеграл ищем в виде и находим для В:

Представив В в виде , имеем для b и :

Наконец, отделив вещественную часть от выражения частный интеграл уравнения (26,1), а прибавив к нему общее решение уравнения без правой части (которое мы напишем для определенности для случая ), получим окончательно:

Первое слагаемое экспоненциально убывает со временем, так что через достаточно большой промежуток времени остается только второй член:

Выражение (26,3) для амплитуды b вынужденного колебания хотя и возрастает при приближении частоты у к но не обращается в бесконечность, как это было при резонансе в отсутствие трения. При заданной амплитуде силы f амплитуда колебания максимальна при частоте при это значение отличается от лишь на величину второго порядка малости.

Рассмотрим область вблизи резонанса. Положим где — малая величина; будем также считать, что . Тогда в (26,2) можно приближенно заменить:

так что

или

Отметим характерную особенность хода изменения разности фаз между колебанием и вынуждающей силой при изменении частоты последней. Эта разность всегда отрицательна, т. е. колебание «запаздывает» относительно внешней силы. Вдали от резонанса, со стороны стремится к нулю, а со стороны значению . Изменение от нуля до происходит в узкой (ширины ) области частот, близких к через значение разность фаз проходит при Отметим в этой связи, что в отсутствие трения изменение фазы вынужденного колебания на величину происходит скачком при (второй член в (22,4) меняет знак); учет трения «размазывает» этот скачок.

При установившемся движении, когда система совершает вынужденные колебания (26,5), ее энергия остается неизменной. В то же время система непрерывно поглощает (от источника внешней силы) энергию, которая диссипируется благодаря наличию трения. Обозначим посредством количество энергии, поглощаемой в среднем в единицу времени, как функцию частоты внешней силы. Согласно (25,13) имеем:

где F — среднее (по периоду колебания) значение диссипативной функции. Для одномерного движения выражение (25,11) диссипативной функции сводится к . Подставив сюда (26,5), получим:

Среднее по времени значение квадрата синуса равно , поэтому

Вблизи резонанса, подставляя амплитуду колебания из (26,7), имеем:

Такой вид зависимости поглощения от частоты называется дисперсионным. Полушириной резонансной кривой (рис. 31) называют значение при котором величина уменьшается вдвое по сравнению с ее максимальным значением при .

Из формулы (26,9) видно, что в данном случае эта полуширина совпадает с показателем затухания Высота же максимума

обратно пропорциональна К.

Рис. 31

Таким образом, при уменьшении показателя затухания резонансная кривая становится уже и выше, т. е. ее максимум становится более острым. Площадь же под резонансной кривой остается при этом неизменной. Последняя дается интегралом

Поскольку быстро убывает при увеличении , так что область больших все равно не существенна, можно при интегрировании писать в виде (26,9), а нижний предел заменить на

Тогда

Задача

Определить вынужденные колебания при наличии трения под действием внешней силы .

Решение. Решаем уравнение движения в комплексном виде

после чего отделяем вещественную часть решения. В результате получаем вынужденное колебание в виде

где