Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 48. Разделение переменныхВ ряде важных случаев нахождение полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби может быть достигнуто методом так называемого разделения переменных, сущность которого состоит в следующем. Допустим, что какая-либо координата — обозначим ее
где Будем искать в этом случае решение в виде суммы
Подставив это выражение в уравнение (48,1), получим:
Предположим, что решение (48,2) найдено. Тогда после подстановки его в уравнение (48,3) последнее должно обратиться в тождество, справедливое, в частности, при любом значении координаты
где Если таким способом можно последовательно отделить все s координат и время, то нахождение полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби целиком сводится к квадратурам. Для консервативной системы речь фактически идет лишь о разделении s переменных (координат) в уравнении (47,6), и при полном разделении искомый интеграл уравнения имеет вид
где каждая из функций Частным случаем разделения является случай циклической переменной. Циклическая координата
Постоянная Таким образом, все рассматривавшиеся ранее случаи упрощения интегрирования уравнений движения, основанные на использовании циклических переменных, охватываются методом разделения переменных в уравнении Гамильтона — Якоби. К ним добавляется еще ряд случаев, когда разделение переменных возможно, хотя координаты не являются циклическими. Все это приводит к тому, что метод Гамильтона — Якоби является наиболее могущественным методом нахождения общего интеграла уравнений движения. Для разделения переменных в уравнении Гамильтона — Якоби существен удачный выбор координат. Рассмотрим некоторые примеры разделения переменных в различных координатах, которые могут представить физический интерес в связи с задачами о движений материальной точки в различных внешних полях. 1. Сферические координаты. В этих координатах
и разделение переменных возможно, если
где
В этом случае уравнение Гамильтона—Якоби для функции
Учитывая цикличность координаты
и для функций
Интегрируя их, получим окончательно:
Произвольными постоянными здесь являются 2. Параболические координаты. Переход к параболическим координатам
Координаты
Тогда
Составим функцию Лагранжа материальной точки в координатах
(функция Лагранжа в цилиндрических координатах), получим:
Импульсы равны
и функция Гамильтона
Физически интересные случаи разделения переменных в этих координатах соответствуют потенциальной энергии вида
Имеем уравнение
Циклическая координата
Положив
получим два уравнения
и, интегрируя их, найдем окончательно:
с произвольными постоянными 3. Эллиптические координаты. Эти координаты
Постоянная Подставив сюда выражения (48,17), получим:
Преобразуя функцию Лагранжа от цилиндрических координат к эллиптическим, найдем:
Отсюда для функции Гамильтона получим:
Физически интересные случаи разделения переменных соответствуют потенциальной энергии
где
Задачи1. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона—Якоби для движения частицы в поле
(наложение кулоновского и однородного полей); найти специфическую для такого движения сохраняющуюся функцию координат и импульсов. Решение. Данное поле относится к типу (48,15), причем
Полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби дается формулой (48,16) с втими функциями Для выяснения смысла постоянной
Вычтя одно из этих уравнений из другого и выразив импульсы
Выражение в квадратных скобках представляет собой интеграл движения, специфический для чисто куэюновского поля ( 2. То же в поле
(кулоновское поле двух неподвижных центров на расстоянии Решение. Данное поле относятся к типу (48,21), причем
Рис. 55 Действие
где
а
|
1 |
Оглавление
|