§ 48. Разделение переменных

В ряде важных случаев нахождение полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби может быть достигнуто методом так называемого разделения переменных, сущность которого состоит в следующем.

Допустим, что какая-либо координата — обозначим ее — и соответствующая ей производная входят в уравнение Гамильтона — Якоби только в виде некоторой комбинации не содержащей никаких других координат (или времени) и производных, т. е. уравнение имеет вид

где обозначает совокупность всех координат за исключе нием

Будем искать в этом случае решение в виде суммы

Подставив это выражение в уравнение (48,1), получим:

Предположим, что решение (48,2) найдено. Тогда после подстановки его в уравнение (48,3) последнее должно обратиться в тождество, справедливое, в частности, при любом значении координаты Но при изменении может меняться только функция поэтому тождественность равенства (48,3) требует, чтобы и функция сама по себе была постоянной. Таким образом, уравнение 148,3) распадается на два уравнения:

где — произвольная постоянная. Первое из них есть обыкновенное дифференциальное уравнение, из которого функция может быть определена простым интегрированием. После этого остается дифференциальное уравнение в частных производных (48,5), но уже с меньшим числом независимых переменных.

Если таким способом можно последовательно отделить все s координат и время, то нахождение полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби целиком сводится к квадратурам. Для консервативной системы речь фактически идет лишь о разделении s переменных (координат) в уравнении (47,6), и при полном разделении искомый интеграл уравнения имеет вид

где каждая из функций зависит лишь от одной из координат, а энергия Е как функция произвольных постоянных получается подстановкой в уравнение (47,6).

Частным случаем разделения является случай циклической переменной. Циклическая координата вовсе не входит в явном виде в функцию Гамильтона, а потому и в уравнение Гамильтона—Якоби. Функция , сводится при этом просто к , и из уравнения (48,4) имеем просто , так что

Постоянная есть при этом не что иное, как постоянное значение импульса отвечающего циклической координате. Отметим, что отделение времени в виде члена для консервативной системы тоже соответствует методу разделения переменных для «циклической переменной»

Таким образом, все рассматривавшиеся ранее случаи упрощения интегрирования уравнений движения, основанные на использовании циклических переменных, охватываются методом разделения переменных в уравнении Гамильтона — Якоби. К ним добавляется еще ряд случаев, когда разделение переменных возможно, хотя координаты не являются циклическими. Все это приводит к тому, что метод Гамильтона — Якоби является наиболее могущественным методом нахождения общего интеграла уравнений движения.

Для разделения переменных в уравнении Гамильтона — Якоби существен удачный выбор координат. Рассмотрим некоторые примеры разделения переменных в различных координатах, которые могут представить физический интерес в связи с задачами о движений материальной точки в различных внешних полях.

1. Сферические координаты. В этих координатах функция Гамильтона

и разделение переменных возможно, если

где — произвольные функции. Последний член в этом выражении вряд ли может представить физический интерес, и потому мы рассмотрим поле вида

В этом случае уравнение Гамильтона—Якоби для функции

Учитывая цикличность координаты , ищем решение в виде

и для функций получаем уравнения

Интегрируя их, получим окончательно:

Произвольными постоянными здесь являются ; дифференцируя по ним и приравнивая результат дифференцирования новым постоянным, найдем общее решение уравнений движения.

2. Параболические координаты. Переход к параболическим координатам совершается от цилиндрических координат (которые в этом параграфе мы будем обозначать, как ) по формулам

(48,10)

Координаты и пробегают значения от нуля до поверхности постоянных представляют собой, как легко убедиться, два семейства параболоидов вращения (с осью z в качестве оси симметрии). Связь (48,10) можно представить еще и в другой форме, введя радиус

(48,11)

Тогда

(48,12)

Составим функцию Лагранжа материальной точки в координатах . Дифференцируя выражения (48,10) по времени и подставляя в

(функция Лагранжа в цилиндрических координатах), получим:

Импульсы равны

и функция Гамильтона

Физически интересные случаи разделения переменных в этих координатах соответствуют потенциальной энергии вида

Имеем уравнение

Циклическая координата отделяется в виде Умножив затем уравнение на и перегруппировав члены, получим:

Положив

получим два уравнения

и, интегрируя их, найдем окончательно:

(48,16)

с произвольными постоянными .

3. Эллиптические координаты. Эти координаты вводятся согласно формулам

(48,17)

Постоянная является параметром преобразования. Координата g пробегает значения от единицы до , а координата от —1 до +1. Геометрически более наглядные соотношения получаются, если ввести расстояния до точек на оси z с координатами .

Подставив сюда выражения (48,17), получим:

(48,18)

Преобразуя функцию Лагранжа от цилиндрических координат к эллиптическим, найдем:

Отсюда для функции Гамильтона получим:

(48,20)

Физически интересные случаи разделения переменных соответствуют потенциальной энергии

(48,21)

где - произвольные функции. Результат разделения переменных в уравнении Гамильтона — Якоби гласит:

Задачи

1. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона—Якоби для движения частицы в поле

(наложение кулоновского и однородного полей); найти специфическую для такого движения сохраняющуюся функцию координат и импульсов. Решение. Данное поле относится к типу (48,15), причем

Полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби дается формулой (48,16) с втими функциями

Для выяснения смысла постоянной пишем уравнения

Вычтя одно из этих уравнений из другого и выразив импульсы через импульсы в цилиндрических координатах, получим после простого приведения:

Выражение в квадратных скобках представляет собой интеграл движения, специфический для чисто куэюновского поля (-компонента вектора (15,17)).

2. То же в поле

(кулоновское поле двух неподвижных центров на расстоянии друг от друга).

Решение. Данное поле относятся к типу (48,21), причем

Рис. 55

Действие получается подстановкой этих выражений в (48,22). Смысл постоянной Р выясняется аналогично тому, как это было сделано в задаче 1; она выражает собой данном случае сохранение следующей вели чины:

где

а — углы, указанные на рис. 55.