§ 12. Определение потенциальной энергии по периоду колебаний

Рассмотрим вопрос о том, в какой степени можно восстановить вид потенциальной энергии поля, в котором частица совершает колебательное движение, по известной зависимости пер кода этого движения Т от энергии Е. С математической точки зренчя речь идет о решении интегрального уравнения (11,5), в котором рассматривается как неизвестная, а — как известная функции.

Рис. 7.

При этом мы будем заранее предполагать, что искомая функция имеет в рассматриваемой области пространства лишь один минимум, оставляя в стороне вопрос о возможности существования решений интегрального уравнения, не удовлетворяющих этому условию. Для удобства выберем начало координат в положении минимума потенциальной энергии, а значение последней в этой точке положим равным нулю (рис. 7).

Преобразуем интеграл (11,5), рассматривая в нем координату х как функцию U. Функция двузначна — каждое значение потенциальной энергии осущестляется при двух различных значениях х. Соответственно этому интеграл (11,5), в котором мы заменяем на перейдет в сумму двух интегралов: от до и от до будем писать зависимость х от U в этих двух областях соответственно как

Пределами интегрирования по будут, очевидно, и О, так что получаем:

Разделим обе стороны этого равенства на где а — параметр, и проинтегрируем по Е от нуля до а:

или, меняя порядок интегрирования:

Интеграл вычисляется элементарно и оказывается равным . После этого интегрирование по становится тривиальным и дает:

(при этом учтено, что ) Заменив теперь букву на U, находим окончательно:

Таким образом, по известной функции Т(Е) определяется разность . Сами же функции остаются неопределенными. Это значит, что существует не одна, а бесчисленное множество кривых приводящих к заданной зависимости периода от энергии и отличающихся друг от друга такими деформациями, которые не меняют разности двух значений соответствующих одному и тому же значению U.

Многозначность решения исчезает, если потребовать, чтобы кривая U = U(x) была симметрична относительно оси ординат, т. е. чтобы было:

В таком случае формула (12,1) дает для однозначное выражение