Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 25. Затухающие колебанияДо сих пор мы всегда подразумевали, что движение тел происходит в пустоте или что влиянием среды на движение можно пренебречь. В действительности при движении тела в среде последняя оказывает сопротивление, стремящееся замедлить движение. Энергия движущегося тела при этом в конце концов переходит в тепло или, как говорят, диссипируется. Процесс движения в этих условиях уже не является чисто механическим процессом, а его рассмотрение требует учета движения самой среды и внутреннего теплового состояния как среды, так и тела. В частности, уже нельзя утверждать в общем случае, что ускорение движущегося тела является функцией лишь от его координат и скорости в данный момент времени, т. е. не существует уравнений движения в том смысле, какой они имеют в механике. Таким образом, задача о движении тела в среде уже не является задачей механики. Существует, однако, определенная категория явлений, когда движение в среде может быть приближенно описано с помощью механических уравнений движения путем введения в них некоторых дополнительных членов. Сюда относятся колебания с частотами, малыми по сравнению с частотами, характерными для внутренних диссипативных процессов в среде. При выполнении этого условия можно считать, что на тело действует сила трения, зависящая (для заданной однородной среды) только от его скорости. Если к тому же эта скорость достаточно мала, то можно разложить силу трения по ее степеням. Нулевой член разложения равен нулю, поскольку на неподвижное тело не действует никакой силы трения, и первый неисчезающий член пропорционален скорости. Таким образом, обобщенную силу трения
где а — положительный коэффициент, а знак минус показывает, что вила действует в сторону, противоположную скорости. Добавляя эту силу в правую сторону уравнения движения, получим (ср. (21,4)):
Разделим его на
Таким образом, имеем уравнение
Следуя общим правилам решения линейных уравнеций с постоянными коэффициентами, полагаем
Общее решение уравнения (25,3) есть
Здесь следует различать два случая. Если Общее решение уравнения движения может быть представлено в этом случае, как
где А — произвольная комплексная постоянная. Иначе можно написать;
где Если
где Пусть теперь
Мы видим, что в этом случае, возникающем при достаточно большом трении, движение состоит в убывании Наконец, в особом случае, когда
Это — особый случай апериодического затухания, Оно тоже не имеет колебательного характера. Для системы со многими степенями свободы обобщенные силы трения, соответствующие координатам
Из чисто механических соображений нельзя сделать никаких заключений о свойствах симметрии коэффициентов
Поэтому выражения (25.8) могут быть написаны в виде производных
от квадратичной формы
называемой диссипативной функцией. Силы (25,10) должны быть добавлены к правой стороне уравнений Лагранжа
Диссипативная функция имеет сама по себе важный физический смысл — ею определяется интенсивность диссипации энергии в системе. В этом легко убедиться, вычислив производную по времени от механической энергии системы. Имеем:
Поскольку F — квадратичная функция скоростей, то в силу теоремы Эйлера об однородных функциях сумма в правой стороне равенства равна 2F. Таким образом,
т. е. скорость изменения энергии системы дается удвоенной диссипативной функцией. Так как диссипативные процессы приводят к уменьшению энергии, то должно быть всегда Уравнения малых колебаний при наличии трения получаются добавлением сил (25,8) в правую сторону уравнений (23,5):
Положив в этих уравнениях
получим по сокращении на
Приравняв нулю определитель этой системы, найдем характеристическое уравнение, определяющее значения
Это — уравнение степени
|
1 |
Оглавление
|