§ 17. Упругие столкновения частиц

Столкновение двух частиц называют упругим, если оно не сопровождается изменением их внутреннего состояния. Соответственно этому при применении, к такому столкновению закона сохранения энергии можно не учитывать внутренней энергии частиц.

Проще всего столкновение выглядит в системе отсчета, в которой центр инерции обеих частиц покоится (-система); будем отличать, как и в предыдущем параграфе, индексом 0 значения величин в этой системе. Скорости частиц до столкновения в -системе связаны с их скоростями в лабораторной системе соотношениями

где

В силу закона сохранения импуяьса импульсы обеих частиц остаются после столкновения равными по величине и противоположными по направлению, а в силу закона сохранения энергии остаются неизменными и их абсолютные величины. Таким образом, результат столкновения сводится в -системе к повороту скоростей Обеих частиц, остающихся взаимно противоположными и неизменными по величине. Если обозначить посредством По единичный вектор в направлении скорости частицы после столкновения, то скорости обеих частиц после столкновения (отличаем их штрихом) будут;

Чтобы возвратиться к лабораторной системе отсчета, надо добавить к этим выражениям скорость V центра инерции.Таким образом, для скоростей частиц в -системе после столкновения получаем:

Этим исчерпываются сведения, которые можно получить о столкновении, исходя из одних только законов сохранения импульса и энергии. Что касается направления вектора по, то он зависит от закона взаимодействия частиц и их взаимного расположения во время столкновения.

Рис. 15

Полученные результаты можно интерпретировать геометрически. При этом удобнее перейти от скоростей к импульсам. Умножив равенства (17,2) соответственно на , получим;

— приведенная масса). Построим окружность с радиусом и произведем указанное на рис. 15 построение. Если единичный вектор направлен вдоль ОС, то векторы А С и СВ дают соответственно импульсы . При заданных радиус окружности и положение точек А и В неизменны, а точка С может иметь любое положение на окружности.

Рассмотрим подробнее случай, когда одна из частиц (пусть это будет частица ) до столкновения покоилась. В этом случае длина совпадает с радиусом, т. е. точка В лежит на окружности. Вектор же АВ совпадает с импульсом первой частицы до рассеяния. При этом точка А лежит внутри (если ) или вне (если ) окружности. Соответствующие диаграммы изображены на рис. 16, а и б.

Рис. 16

Указанные на них углы представляют собой углы отклонения частиц после столкновения по отношению к направлению удара (направлению ). Центральный же угол, обозначенный на рисунках посредством (дающий направление ), представляет собой угол поворота первой частицы в системе центра инерции. Из рисунка очевидно, что углы могут быть выражены через угол формулами

Выпишем также формулы, определяющие абсолютные величины скоростей обеих частиц после столкновения через тот же угол

Сумма есть разлета частиц после столкновения. Очевидно, что при и при .

Случаю, когда обе частицы после столкновения движутся по одной прямой («лобовой удар»), соответствует т. е. положение точки С на диаметре слева от точки А (рис. 16, а; при этом и взаимно противоположны) или между А и О (на рис. 16. б; при этом направлены в одну сторону).

Скорости частиц после столкновения в этом случае равны

Значение при этом — наибольшее возможное; максимальная энергия, которую может получить в результате столкновения первоначально покоившаяся частица, равна, следовательно,

где — первоначальная энергия налетающей частицы. При скорость первой частицы после столкновения может иметь любое направление. Если же , угол от клонения летящей частицы не может превышать некоторого максимального значения, соответствующего такому положению точки С (рис. 16, б), при котором прямая АС касается окружности.

Очевидно, что , или

Рис. 17

Особенно просто выглядит столкновение частиц (из которых одна первоначально покоится) с одинаковыми массами. В этом случае не только точка В, но и точка А лежат на окружности (рис. 17). При этом

(17,10)

Отметим, что частицы разлетаются после столкновения под прямым углом друг к другу.

Задача

Выразить скорости обеих частиц после столкновения движущейся частицы с неподвижной через их углы отклонения в -системе.

Решение. Из рис. 16 имеем или

Для импульса же имеем уравнение

или

Отсюда

(при перед корнем допустимы оба знака, при -знак ).