Глава 2. ВЛИЯНИЕ ДЕФОРМАЦИИ КАПЕЛЬ И ИХ ДИФФУЗИОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НА МАССООБМЕН С ПОТОКОМ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ ПЕКЛЕ

Анализ процесса массообмена капли с потоком в гл. 1 был основан на ряде упрощающих предположений, в том числе на предположении о наличии в потоке только одной частицы и ее сферической форме. В реальных ситуациях эти предположения далеко не всегда отражают условия межфазного массообмена в дисперсной системе. Так, при барботаже форма газовых пузырей может существенно отличаться от сферической. При наличии в потоке многих частиц на массообмен отдельной частицы могут влиять соседние частицы, присутствие которых возмущает не только поле скоростей жидкости, но и поле концентрации растворенного вещества (гидродинамическое и диффузионное взаимодействие частиц). Описанный в гл. 1 асимптотический метод диффузионного пограничного слоя позволяет наряду с задачей о массообмене уединенной сферической капли рассматривать другие задачи, например о массообмене капли несферической формы и массообмене капли с потоком с учетом ее диффузионного взаимодействия с соседними каплями. Таким задачам посвящена данная глава.

§ 1. Диффузия к капле (пузырю) в случае произвольного осесимметричного обтекания вязкой несжимаемой жидкостью. Общие соотношения

Определим диффузионный приток растворенного в потоке вещества к поверхности деформированной капли, предполагая, что обтекание стационарное, ламинарное; на поверхности капли происходит полное поглощение растворенного компонента, капля и поток обладают осевой симметрией.

Перейдем к безразмерным переменным, введя масштаб длины а — характерный размер капли (в качестве последнего обычно выбирают радиус эквивалентной по объему сферы ) и масштаб скорости характерную скорость

(вдали от капли); концентрацию отнес им к ее значению на бесконечности.

Используем ортогональную криволинейную систему безразмерных координат связанную с каплей. Координата направлена вдоль поверхности капли, по внешней нормали к ней; при этом поверхность капли задается фиксированным значением координаты Азимутальная координата X меняется в пределах от до причем в силу осевой симметрии азимутальная составляющая скорости и производные по X от концентрации равны нулю. Обтекание капли считается ламинарным, без застойных зон (т. е. около капли отсутствуют области с замкнутыми линиями тока).

Безразмерное уравнение стационарной диффузии и граничные условия в системе координат г), X с учетом осевой симметрии запишем в виде

Здесь компоненты метрического тензора, число Пекле, безразмерная функция тока.

Как следует из результатов гл. 1, при больших числах Пекле основной вклад в диффузионный интегральный поток на поверхность капли вносит тонкая (толщиной порядка ) область диффузионного пограничного слоя, которую и будем рассматривать в дальнейшем.

В общем случае осесимметричного обтекания функцию тока вблизи поверхности капли можно представить в виде

Отметим, что при обтекании вязкой жидкостью представление функции тока в виде разложения (1.2), содержащего в главном члене первую степень величины справедливо только для жидкой капли. В случае твердой частицы главный член такого разложения будет квадратичным по (а иногда может иметь и более высокий порядок; см. гл. 4). Это означает, что тангенциальная

скорость в диффузионном пограничном слое у поверхности капли в главном приближении имеет постоянное значение равное скорости потока непосредственно на поверхности, в то время как в диффузионном пограничном слое у поверхности твердой частицы тангенциальная скорость в главном приближении зависит линейно (а иногда квадратично) от расстояния до поверхности, обращаясь в нуль на поверхности.

Рис. 2.1. а) Схема течения вблизи поверхности капли в окрестности критических точек или линий натекания (с координатой и стекания (с координатой стрелки показывают направление вектора скорости, б) Распределение тангенциальной компоненты скорости жидкости вблизи критических точек или линий поверхности тела.

Рассмотрим подробнее геометрию течения вблизи капли. Нули функции определяют -координаты критических точек или линий на поверхности капли, причем в случае критических линий координатные поверхности разделяют области, в которых главный член разложения (1.2) сохраняет знак. Эти критические точки и линии играют важную роль в теории диффузионного пограничного слоя. Они могут быть двух типов: в их малой окрестности нормальная компонента скорости жидкости направлена либо к поверхности капли (точки или линии «натекания» с координатами либо от нее (точки или линии «стекания» с -координатами Очевидно, что в силу закона сохранения массы тангенциальная компонента скорости жидкости на

поверхности капли в окрестности точки или линии натекания (стекания) направлена от этой точки или линии (соответственно к ней), а сами точки или линии натекания и стекания должны чередоваться (рис. 2.1).

Отметим, что ввиду осевой симметрии задачи на поверхности капли (на оси симметрии) всегда имеются две изолированные критические точки. В потоке с достаточно существенным градиентом скорости между этими точками может лежать критическая линия (окружность в плоскости, нормальной к оси симметрии). Таким образом, в соответствии со сказанным выше возможны следующие ситуации: (здесь и далее нижний индекс опускается, если имеется только одна точка или линия данного типа). Все эти случаи встречались при анализе модельных течений, рассмотренных в гл. 1, где Случаи большего числа критических точек или линий на односвязной поверхности частицы исследуются аналогично.

Рассмотрим случай двух критических точек (случай 1)). Тогда

Используя для функции тока представление (1.2), перейдем в диффузионном пограничном слое к переменным Мизеса где С точностью до для левой части уравнения (1.1) получаем

где

Здесь и далее индекс означает, что соответствующая величина берется на поверхности капли, т. е. при

Преобразуем правую часть уравнения (1.2), оставляя старшие члены разложения по степеням 8 и используя замену переменной

В результате, как и в гл. 1, сведем исходную задачу о диффузии (1.1) к следующей краевой задаче для

диффузионного пограничного слоя:

где первое граничное условие соответствует условию полного поглощения вещества на поверхности капли, второе и третье — условиям сращивания решения в диффузионном пограничном слое с решением во внешней области. Задача (1.4) имеет автомодельное решение

которое вместе с соотношениями (1.2), (1.3) определяет поле концентраций в области диффузионного пограничного слоя

в случае, когда на поверхности капли имеются только две критические точки.

Если помимо двух критических точек есть еще и критическая линия (случаи 2) и 3)), функция а следовательно, могут менять знак при переходе через критическую линию.

Рис. 2.2. Система координат, связанная с поверхностью капли.

Решение (1.5) в диффузионном пограничном слое при этом сохраняется, но под подразумеваются модули соответствующих величин.

Полученные выше формулы записаны в произвольной ортогональной криволинейной системе координат при учетелишь осевой симметрии. В приложениях часто оказывается удобным использование сферической системы

координат. Приведем соответствующее выражение для переменной

Пусть в сферической системе координат капля имеет форму и поле скоростей жидкости вне капли определяется вектором (рис. 2.2). С учетом соотношений (которые для простоты приведены в случае естественного задания метрики, т. е. при

из формул (1.3) получаем

Здесь для удобства приведено несколько видов записи переменной угол, соответствующий точке (линии) натекания,

Формула (1.6) будет использована далее в § 3 при решении задачи о диффузии к слабодеформированной капле.

Безразмерный локальный диффузионный поток в общем случае определяется производной по нормали от концентрации на поверхности капли и имеет вид

В случае 1) для безразмерного полного потока на поверхность капли имеем

В случае 2), когда на поверхности капли имеется линия стекания, последняя разбивает область течения вблизи поверхности капли на два участка: и Используя на каждом из участков вышеуказанные преобразования, можно определить локальный и полный диффузионные потоки на всю каплю. Для полного диффузионного потока на всю поверхность капли имеем

В случае 3) имеем, очевидно, аналогичное выражение, меняя местами индексы плюс и минус.

Среднее число Шервуда определяется по формуле

где безразмерная площадь поверхности сферы (эквивалентного радиуса), объем которой совпадает с объемом исходного тела. Такое определение среднего числа Шервуда для проведения численных расчетов удобнее, чем аналогичное определение через полную поверхность тела

Если за масштаб длины выбран радиус эквивалентной сферы, то имеет место равенство для сферы оба определения (через совпадают и соответствуют числу Шервуда, определенному по ее радиусу.

Следует отметить, что полученные здесь результаты распространяются на все случаи, когда для функции тока справедливо представление (1.1) (линейная зависимость функции тока вблизи частицы от нормальной координаты), т. е. наряду с рассмотренным случаем вязкого обтекания жидкой частицы они применимы, например, в случаях невязкого или фильтрационного обтекания твердых частиц (см. гл. 3).

Легко показать также, что результаты этого параграфа остаются справедливыми и в плоском случае. Считая, что в ортогональных координатах связанных с поверхностью капли, уравнение по-прежнему задает поверхность капли, для полного диффузионного потока на единицу длины жидкого цилиндра имеем

Здесь учтено, что значения соответствуют критическим точкам поверхности капли.

Формула (1.9) и ее обобщение на случай большего числа критических точек, а также формула (1.11), удобны для практических расчетов. Видно, что для определения полного диффузионного потока на поверхность капли достаточно найти все корни уравнения вычислить по формуле (1.5) значения и выполнить суммирование согласно формуле (1.9) или (1.11). При этом не нужно определять соответствие корней линиям (точкам) натекания и стекания. Последнее требуется только для вычисления локального потока (1.7) и поля концентрации.

В заключение сформулируем три полезных следствия формул (1.5), (1.9), (1.11).

Следствие 1. При изменении направления скорости жидкости на обратное, что соответствует замене на величина полного диффузионного потока на каплю не меняется, т. е.

Следствие 2. Если форма тела симметрична относительно средней линии где и минимальный и максимальный корни уравнения определяющие изолированные особые точки натекания или стекания (лежащие на оси симметрии), то полные диффузионные потоки, соответствующие функциям

будут совпадать, т. е.

В частности, для сферической капли в сдвиговом и поступательно-сдвиговом потоке этот вывод был получен в гл. 1.

Следствие 3. Пусть поле обтекания капли имеет только две критические точки поверхности капли, а ее форма симметрична относительно средней линии Если при этом функция зависит от параметров таким образом, что сумма от этих параметров не зависит, то полный диффузионный поток также не зависит от Например, среднее число Шервуда для сферической капли в поступательно-сдвиговом потоке в случаях (гл. 1, § 6) не зависит от параметра со (отрезок прямой линии на рис. 1.6).