§ 4. Диффузионный механизм переноса вещества внутри капли при больших числах Пекле на заключительной стадии процесса (модель Кронига — Бринка)

Асимптотический анализ изменения поля концентрации в различных областях внутри капли с течением времени, проведенный в § 3, дает возможность перейти к построению модели процесса переноса вещества внутри капли при больших значениях времени. Основная идея состоит в том, чтобы исключить из рассмотрения конвективный перенос вещества, полагая, во-первых, что концентрация остается постоянной на поверхностях тока (замкнутых внутри капли) и, во-вторых, пренебрегая наличием диффузионного пограничного слоя. Эти условия были впервые сформулированы Кронигом и Бринком [151], давшими также некоторые предварительные оценки пределов их применимости.

Рис. 7.6. Система криволинейных координат внутри капли в модели Кронига — Бринка.

Далее используются как результаты Кронига и Бринка, так и более строгое их обоснование, данное в работах [86, 121].

Формулировка краевой задачи для модели Кронига — Бринка и обоснование исходных гипотез. При формулировке краевой задачи используется безразмерная ортогональная система криволинейных координат , в которой где безразмерная функция тока для течения внутри капли, поверхности, ортогональные поверхностям тока, X — азимутальная

координата (рис. 7.6). Функция тока внутри капли в стоксовом приближении в условиях потенциального обтекания описывается сферическим вихрем Хилла (3.2). После введения масштабов скорости (2.10) и длины (радиус капли) получаем следующиё выражения координат через исходные сферические координаты:

Поле безразмерной концентрации внутри капли с учетом осевой симметрии задачи описывается уравнением диффузии в следующей форме (безразмерная концентрация вводится согласно формуле (2.9) для индекс 2 опускаем):

Коэффициенты метрического тензора имеют вид

В левой части уравнения (4.2) отсутствует слагаемое, описывающее конвективный перенос в направлении изменения координаты поскольку в силу выбора системы координат

На основании результатов анализа поля концентрации внутри капли, проведенного в § 3, функцию с можно представить в виде регулярного разложения по обратному числу Пекле:

где с усредненное по поверхности тока значение концентрации, локальное возмущение этого среднего значения, причем здесь и ниже интеграл берется по линии тока

Представление (4.4) справедливо при условии, что время истекшее с начала процесса, достаточно для выравнивания концентрации вдоль поверхности тока за

счет циркуляционных движений, а. оно должно быть велико по сравнению с характерным временем диффузии Отсюда получаем условие или в безразмерном виде (после введения масштаба времени согласно

Теперь проинтегрируем все члены уравнения (4.2) по линии тока. Учитывая представление (4.4) и условие несжимаемости жидкости, получим в главном приближении по числу Пекле

где

Используя соотношения (4.3) для коэффициентов метрического тензора, нетрудно выразить через известные функции [151]

где и полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно.

Сформулируем граничные и начальные условия для полученного уравнения (4.6), (4.7), имея при этом в виду, что во введенной системе координат (4.1) (рис. 7.6) поверхности капли и ее оси соответствует значение осевой линии ядра тороидального вихря — значение Вновь обращаясь к результатам качественного анализа поля концентрации внутри капли, проведенного в § 3, заметим, что вблизи поверхности капли и ее оси, где проходит граница между ядром вихря и системой внутренний диффузионный пограничный слой — внутренний диффузионный след, т. е. при концентрация отличается от своего значения на поверхности капли на величину Поэтому с той же точностью должно выполняться условие

На оси вихря функция с должна быть регулярной. Отсюда следует условие

Наконец, в качестве начального условия зададим невозмущенное значение концентрации внутри капли в начальный момент (см. § 2), пренебрегая тем самым уменьшением концентрации в пределах диффузионного пограничного слоя:

Рис. 7.7. Распределение концентрации с Чвнутри капли и зависимость концентрации на оси тороидального вихря с от безразмерного времени.

Решение сформулированной краевой задачи для уравнения параболического типа (4.6) с переменными коэффициентами (4.7) при граничных и начальных условиях (4.8) — (4.10) может быть построено в виде бесконечного ряда методом разделения переменных [151] или численно [121].

Изменение распределения концентрации внутри капли с течением времени. Диффузионный поток вещества через поверхность капли. Методом разделения переменных с последующим определением собственных значений в задаче Штурма — Лиувилля с привлечением квадратичной аппроксимации по функции с методу Ритца можно построить решение краевой задачи (4.6) — (4.10) в виде

где Близкие результаты получены в этой задаче и другими методами [12, 121].

На рис. 7.7 показаны зависимости концентрации с на оси тороидального вихря от безразмерного времени и распределение концентрации с внутри капли при разных значениях [121].

Модели массопереноса внутри движущейся капли при больших числах Пекле и пределы их применимости (см. скан)

Следует отметить, что с ростом концентрация внутри капли быстро падает, причем в силу неравенства (4.5) данные при малых носят условный характер.

Скорость экстракции растворенного в капле вещества характеризуется полным диффузионным потоком через поверхность капли. В главном приближении по числу Пекле полный поток получается интегрированием локального потока по поверхности т. е. в безразмерном

Наглядным показателем скорости экстракции вещества из капли может служить время, в течение которого концентрация вещества в капле уменьшится в раз по сравнению с первоначальной концентрацией. Простой расчет на основании результата (4.11) показывает [151], что это время составляет (в безразмерной форме) т. е. в 2,5 раза меньше, чем в случае экстракции из неподвижной капли в среде с бесконечным коэффициентом диффузии. При конечном коэффициенте диффузии во внешней среде это различие возрастает.

Следует отметить, что нестационарные задачи конвективного массо- и теплопереноса внутри капли исследовались различными конечно-разностными методами на ЭВМ во многих работах (см., например, [10, И, 58, 97, 146, 194]).

Завершая анализ процесса диффузии внутри движущейся капли, отметим, что каждая из рассмотренных моделей массопереноса справедлива лишь для определенного интервала времени, поэтому дискуссия (см., например, [12]) о том, какая из них более правильно описывает весь процесс в целом, лишена оснований. Сводка моделей и пределов их применимости приведена в таблице.

Заметим, что отсутствуют аналитические решения для модели диффузионного пограничного слоя, учитывающей изменение концентрации внутри вихря за счет массообмена с пограничным слоем. Модель стационарного внутреннего диффузионного пограничного слоя, рассматривавшаяся во многих работах, справедлива лишь на интервале времени и самостоятельного интереса не представляет, поскольку полностью охватывается моделью нестационарного диффузионного пограничного слоя.