§ 2. Конвективная диффузия к эллипсоидальной частице и круговому тонкому диску

В этом параграфе рассмотрено несколько представляющих интерес для приложений частных задач о массообмене частиц с потоком, решение которых основано на применении общих формул § 1.

Эллипсоидальная частица [89]. Рассмотрим осесимметричную задачу о диффузии к твердой эллипсоидальной частице в однородном поступательном стоксовом потоке.

Рис. 4.2. Схема обтекания: а) сплюснутого эллипсоида вращения диска

Частица представляет собой эллипсоид вращения, а ее поверхность в размерных цилиндрических координатах направлена против потока, полуоси эллипсоида, ориентированные вдоль и поперек потока соответственно, рис. 4.2, а) описывается уравнением

Далее, в качестве характерного масштаба длины и скорости выбираем радиус эквивалентной по объему сферы и скорость потока на бесконечности

В зависимости от величины параметра будем проводить анализ этой задачи в ортогональных сопряженных системах координат вращения [107]: в системе координат сплюснутого и вытянутого эллипсоидов вращения, связанных с исходными цилиндрическими координатами соотношениями:

б) при

Параметры определяются следующими выражениями:

В этих системах координат поверхность рассматриваемого эллипсоида при всех значениях параметра задается уравнением

В стоксовом приближении поле скоростей жидкости при обтекании эллипсоида вращения задается следующей безразмерной функцией тока [107]:

Разлагая это выражение в ряд по получаем следующую формулу для фигурирующей в (1.5)

функции

знание которой необходимо для вычисления диффузионных потоков на поверхность частицы.

Учитывая, что траектория натекания определяется значением а траектория стекания — значением и используя формулы (1.7), (1.11), определяем локальный диффузионный поток на поверхность частицы:

Здесь безразмерный локальный поток на сферу эквивалентного радиуса обтекаемую поступательным стоксовым потоком со скоростью вдали от частицы.

Учитывая соотношения (2.1), (2.2), (2.5) и используя формулы (1.7), (1.24), получаем следующие выражения для полного диффузионного потока на поверхность частицы и среднего числа Шервуда:

Здесь К — коэффициент формы, число Шервуда для сферы радиуса

Формулы (2.7) позволяют определить интегральный диффузионный приток реагирующего вещества на поверхность эллипсоида вращения при любом значении отношения его полуосей

Для коэффициента формы выполняются следующие асимптотические соотношения:

На рис. 4.3 показана зависимость коэффициента формы К эллипсоида вращения от отношения его полуосей согласно формулам (2.7). Видно, что в интервале коэффициент формы с погрешностью до 0,8% может быть представлен асимптотикой при определяемой первой формулой (2.8).

Рис. 4.3. Зависимость коэффициента формы К от отношения полуосей эллипсоида

Отметим также, что при той же точностью можно использовать асимптотические соотношения для К соответственно при (третья и вторая формулы (2.8)).

Исследуем теперь характер изменения локального диффузионного потока (2.6) на поверхность эллипсоида в зависимости от величины параметра х и координаты Можно показать, что знак Производной от локального потока по координате совпадает со знаком функции

которая в окрестности передней критической точки

представляется в виде

Из этого представления следует, что при локальный диффузионный поток (2.6) принимает максимальное значение в передней критической точке (т. е. при ) и монотонно убывает с увеличением расстояния от нее вдоль поверхности эллипсоида (т. е. с ростом координаты ). При изменение локального диффузионного потока (2.6) по координате происходит немонотонно: возрастание потока на участке сменяется убыванием на участке причем максимум достигается на окружности где ненулевой корень уравнения

При для величины имеет место асимптотическое равенство

из которого следует, что с увеличением отношения полуосей х происходит сдвиг расположения максимума локального диффузионного потока вплоть до окружности миделева сечения эллипсоида Этот сдвиг для сплюснутого эллипсоида при от обычного расположения максимума в точке натекания (как это имеет место для сферы) обусловлен тем, что в окрестности передней критической точки сплюснутого эллипсоида происходит значительно более интенсивное торможение потока по сравнению со случаем сферы. Последнее приводит к соответствующему уменьшению интенсивности конвективного переноса вещества в этой области. В результате поток жидкости вблизи поверхности обедняется в меньшей степени, что приводит к повышению локальной концентрации вещества вдали от точки натекания (т. е. при увеличении координаты ). В то же время вблизи контура миделева сечения эллипсоида скорость жидкости увеличивается.

Величина локального диффузионного потока определяется локальной концентрацией вещества и локальной скоростью жидкости вблизи поверхности частицы. Для сплюснутого эллипсоида совместное действие обоих этих факторов приводит к снижению локального диффузионного потока в окрестности передней критической точки и его повышению на части поверхности эллипсоида вблизи

миделева сечения, что в результате и обусловливает сдвиг максимума локального потока вещества в направлении течения жидкости вдоль поверхности.

На рис. 4.4 показаны положение максимума локального диффузионного потока (2.6) на поверхности эллипсоида и относительная величина этого максимума в зависимости от параметра

Рис. 4.4. Положение максимума локального диффузионного потока на поверхности эллипсоида вращения и относительная величина этого максимума при разных отношениях полуосей эллипсоида

Рис. 4.5. Распределение локального диффузионного потока по поверхности эллипсоида вращения при разных отношениях полуосей эллипсоида

Видно, что с увеличением степени сжатия эллипсоида величина очень быстро приближается к своему предельному значению а максимальная величина локального диффузионного потока резко возрастает по сравнению с локальным диффузионным потоком в передней критической точке. При этом имеет место асимптотическое соотношение

Распределение локального диффузионного потока (2.6) при разных х иллюстрируется рис. 4.5, где приведены нормированные распределения Штриховой линией выделен случай (сферическая частица).

Следует иметь в виду, что для сильно сплюснутого или сильно вытянутого эллипсоида вращения приведенный выше анализ становится непригодным. Рассмотрим эти предельные случаи..

Круговой тонкий диск [89]. Рассмотрим подробнее случай (т. е. ), соответствующий круговому плоскому диску, расположенному поперек потока (рис. 4.2, б).

Если выражение (2.7) для полного диффузионного потока на поверхность эллипсоида переписать в размерном виде и устремить к нулю полуось эллипсоида а, ориентированную по направлению скорости на бесконечности, то выполняется предельное соотношение

Из физических соображений ясно, однако, что полный диффузионный поток должен быть конечной и положительной величиной при Следует поэтому проверить пригодность приведенного ранее решения в данном предельном случае. Действительно, из формулы (2.5) видно, что при а Поэтому в рассматриваемом предельном случае для определения диффузионного потока необходимо учесть следующий член разложения функции тока в ряд по Как следует из выражения для функции тока (2.4), поле течения при (в этом случае ) вблизи поверхности диска представляется в виде (1.5), где

В качестве характерного масштаба длины выбран радиус диска что отмечается здесь и в дальнейшем индексом

Используя формулу (1.11), с учетом (2.10) получаем следующее выражение для локального диффузионного потока на переднюю часть поверхности диска

где неполная бета-функция, бета-функция.

Из формулы (2.11) следует, что в передней критической точке диска локальный диффузионный поток

конечен и равен приближении к кромке диска (т. е. при ) величина потока неограниченно возрастает. Последнее означает, что толщина диффузионного пограничного слоя на кромке диска обращается в нуль и формула (2.11) непригодна в малой окрестности кромки.

Отметим два существенных отличия диффузионного потока на поверхность диска (2.11) по сравнению с потоком на сферу.

Во-первых, при удалении от передней критической точки вдоль поверхности диска локальный диффузионный поток монотонно возрастает, а не уменьшается, как это имело место в случае сферы. Это свойство нетрудно понять, если вспомнить, что для сплюснутого эллипсоида вращения расположение максимума локального диффузионного потока определялось значением которое с ростом возрастало, стремясь к своему предельному значению

Во вторых, диффузионный поток на диск оказывается пропорциональным числу Пекле в степени V, а не как было получено ранее для твердых частиц с гладкой поверхностью. Такое снижение диффузионного потока обусловлено существенно более интенсивным торможением потока жидкости вблизи диска и соответствующим качественным изменением зависимости функции тока от координаты, нормальной к поверхности диска (ср. формулы (2.5) и (2.10)).

В силу свойства формула для локального диффузионного потока (2.11) становится непригодной в области вблизи острой кромки диска. Из физических соображений что величина должна быть конечной при Действительно, вблизи кромки становится существенным тангенциальный перенос растворенного в жидкости вещества к поверхности диска, что приводит к непригодности приближения диффузионного пограничного слоя (1.6) и необходимости рассматривать в этой области полное уравнение конвективной диффузии (1.3).

Следует отметить, однако, что для определения главного члена асимптотического разложения полного диффузионного потока по числу Пекле на переднюю часть поверхности диска нет необходимости знать точное выражение для локального диффузионного потока Для дальнейшего вычисления достаточно неравенства

в области (которое следует из непрерывности и конечности величины при и свойства ). Здесь величина определена формулой (2.11), а истинный локальный диффузионный поток.

В силу сходимости несобственного интеграла (1.12), (2.11) замена истинного значения локального потока на (большую) величину в области не приведет к изменению главного члена асимптотического разложения по числу Пекле для интегрального потока (1.12) на переднюю часть поверхности диска. Проведя интегрирование в (1.12) с учетом (2.11), получаем

Формулы (2.11), (2.12) не могут быть получены простым предельным переходом в (2.6), (2.7) при стремлении к нулю длины соответствующей полуоси. Такая ситуация полностью аналогична той, которая имеет место при анализе тепломассообмена капли и твердой частицы с окружающей жидкостью (см. § 5 гл. 1 и работы [41, 49]), а именно, существует промежуточная область малой кривизны поверхности эллипсоида вращения, в которой для вычисления полного диффузионного потока необходимо учитывать два первых члена разложения функции тока (2.4) в ряд по степеням Это связано с тем, что при второй член разложения функции тока в ряд становится сравнимым с первым членом, и обусловлено неравномерностью предельного перехода при в (2.4).

Для определения области применимости формул (2.6), (2.7) и (2.11), (2.12) нужно сравнить асимптотику для полного потока I (2.7) при с выражением (2.12). С учетом (2.9) получаем, что при справедлива формула (2.7), а при следует пользоваться формулой (2.12).

Вытянутый по потоку эллипсоид вращения. Рассмотрим теперь другой предельный случай: (т. е. или ), соответствующий сильно вытянутому по потоку эллипсоиду вращения. Из выражения (2.7) с учетом (2.8) при получаем следующую асимптотическую формулу для полного

диффузионного потока в размерных переменных:

Следует отметить, что для достаточно вытянутого эллипсоида неприменимо приближение диффузионного пограничного слоя, так как характерный линейный масштаб в любой точке поверхности эллипсоида определяется ее радиусом кривизны, который в точке натекания определяется выражением и стремится к нулю при (т. е. стремится к нулю локальное число Пекле). Это накладывает ограничения по на область применимости формулы (2.13), а граница этой области определяется из равенства Ред Это приводит к неравенствам при выполнении которых может использоваться форхчула (2.13).