§ 7. Качественные особенности внутренних задач конвективного массопереноса, осложненного объемной химической реакцией

В предыдущем параграфе исследовались внешние задачи конвективного массопереноса, когда объемная химическая реакция протекает в окружающем каплю или твердую частицу потоке жидкости.

Рассмотрим теперь внутреннюю задачу стационарного конвективного массообмена между каплей и сплошной средой, когда основное сопротивление переносу сосредоточено внутри капли, где протекает объемная химическая

реакция с конечной скоростью. В безразмерных переменных процесс переноса реагента внутри капли описывается уравнением (6.1) с граничным условием на поверхности (6.2). Будем считать, что распределение скоростей жидкости внутри капли известно из решения соответствующей гидродинамической задачи. В частном случае однородного поступательного стоксова обтекания, когда распределение скоростей жидкости внутри сферической капли соответствует решению Адамара — Рыбчинского, для функции тока имеем

При записи безразмерных выражений (7.1) за характерный масштаб скорости была принята величина где невозмущенная скорость внешнего потока на бесконечности, отношение вязкостей капли и окружающей жидкости.

Выведем одну формулу для среднего числа Шервуда, которая понадобится далее. Для этого проинтегрируем уравнение (6.1) по объему капли с последующим переходом по формуле Остроградского — Гаусса к поверхностному интегралу (по с учетом того, что в силу несжимаемости жидкости конвективный член может быть записан в дивергентном виде Кроме того, используем условие непротекания жидкости через поверхность капли В результате получим

где площадь поверхности капли.

Из этой формулы с учетом неравенства при получаем следующую грубую оценку для среднего числа Шервуда:

где V — объем капли.

В случае реакции нулевого порядка знак равенства в формуле (7.3) при соответствует точному результату. Важно отметить, что оценка (7.3) не зависит от числа Пекле.

В предельном случае концентрация внутри капли становится равной концентрации на ее поверхности, Соответствующая асимптотика для среднего числа Шервуда получается подстановкой значения в формулу (7.2), что для сферической капли дает

В предельном случае больших значений константы скорости объемной химической реакции можно показать, что среднее число Шервуда определяется той же асимптотикой, что и для внешней задачи (6.7).

Точные решения задачи (6.1), (6.2) для неподвижной жидкости внутри сферической оболочки (при ) можно получить лишь для реакции первого и пятого порядков. В частности, при имеем

Исследуем теперь случай больших чисел Пекле и умеренных значений константы скорости объемной химической реакции Для анализа, помимо сферической системы координат введем еще ортогональную систему координат связанную с линиями тока (линии ортогональны линиям тока В такой системе координат уравнение (6.1) принимает вид

Уравнение (6.1) в форме (7.6) справедливо для любого двумерного течения (т. е. для любой функции тока ) при соответствующем выборе координаты в том числе и для плоского случая, где Для поля течения Адамара — Рыбчинского (7.1) криволинейная координата и метрические коэффициенты

определяются выражениями [151]

Отметим, что в работе [151] вместо использовалась нормированная функция а остальные координаты были введены так же.

Рис. 5.6. Структура ноля концентрации внутри капли.

Стандартный асимптотический анализ уравнения (6.1) (или показывает, что внутри капли можно выделить ядро потока область диффузионного пограничного слоя и область диффузионного следа (рис. 5.6).

Решение в ядре потока ищем в виде регулярного асимптотического разложения по обратным степеням числа

Пекле:

Подставляя (7.8) в уравнение (7.6) и выделяя члены при одинаковых степенях числа Пекле, для главных членов разложения в ядре потока получаем

Из первого уравнения (7.9) следует, что

Выписывая соответствующие уравнения и используя условия асимптотического сращивания решений на смежных границах с учетом граничного условия на поверхности капли (6.2) и структуры решения (7.10), можно показать, что главные члены разложения для распределения концентрации в областях диффузионного пограничного слоя и следа имеют вид В силу этого условия сращивания решений в областях в явном виде задают граничное условие для уравнения в ядре потока:

Первого уравнения (7.9), общее решение которого имеет вид (7.10), оказывается недостаточно для определения поля концентрации в ядре потока. Для получения необходимой дополнительной информации о нулевом члене разложения (помимо воспользуемся уравнением (7.9) для следующего члена разложения При этом учтем, что область изменения координаты внутри капли определяется неравенствами — Кроме того, ввиду непрерывности решения задачи (6.1), (6.2) вдоль фиксированной линии тока должно выполняться равенство

которое означает, что разные точки в новой системе координат соответствуют одной и той

же точке в старой сферической системе координат

Интегрирование второго уравнения (7.9) по от до с учетом равенства (7.12) (следствием которого являются аналогичные соотношения для всех членов разложения в ядре потока) приводит к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению для

где интегрирование по замкнутой линии тока сводится к интегрированию по х от до

В случае течения внутри капли (7.1) явные выражения для коэффициентов и приведены в работе [151] (см. также здесь они ввиду их громоздкости опускаются. В этом случае коэффициенты имеют следующие особенности:

и локальный анализ уравнения (7.13) показывает, что первая производная в нуле конечна, а вторая бесконечна и имеет логарифмическую особенность; вторая особенность в точке вырождения определяет два линейно независимых решения, одно из которых неограничено при Последнее означает, что помимо граничного условия (7.11) для уравнения (7.13) следует добавить условие ограниченности решения при

Следует отметить, что решение задачи (7.11), (7.13) равномерно пригодно (по большому числу Пекле) во всей области течения внутри капли вплоть до ее границы (в том числе и во всех областях диффузионного следа), и при диффузионный пограничный слой во внутренней задаче конвективного массо- и теплообмена фактически отсутствует. В силу этого замечания в уравнении (7.13) вместо можно писать просто Из граничного условия (7.11) следует также, что при больших числах Пекле граничное условие с поверхности капли (6.2) как бы «сносится» внутрь капли на ось потока.

В линейном случае объемной химической реакции первого порядка для поля течения Адамара — Рыбчинского

внутри капли (7.1) решение уравнения (7.13) приводит к следующему выражению для среднего числа Шервуда:

Значения первых пяти членов ряда, пересчитанные по данным численного решения соответствующей нестационарной задачи (см. замечание в конце § 1 гл. 7) [12], таковы: При значения этих коэффициентов, близкие к выписанным, были приведены в [151].

Из приведенного анализа следует, что при концентрация постоянна на линиях тока и, что наиболее важно, среднее число Шервуда для капли для любой монотонно возрастающей функции равномерно (по числу Пекле) ограничено сверху: Последнее означает, что одним увеличением интенсивности циркуляции (т. е. увеличением скорости жидкости, что соответствует при не может быть сформирован диффузионный пограничный слой внутри капли. Указанное свойство среднего числа Шервуда типично для всех внутренних задач, что коренным образом отличается от поведения величины для соответствующей внешней задачи о массообмене капли, где при вблизи поверхности капли, как правило, возникает тонкий пограничный слой и справедлива формула [57] (см. также § 6).

На рис. 5.7 приведена зависимость среднего числа Шервуда от безразмерной константы скорости объемной химической реакции для линейной задачи о массопереносе внутри капли для поля течения Адамара — Рыбчинского (7.1) в случае предельных значений числа Пекле (формула (формула (7.14)). Штриховая линия соответствует грубой оценке сверху для среднего числа Шервуда (7.3), которая определяется главным членом асимптотики (7.4) при При промежуточных числах Пекле среднее число Шервуда попадает в заштрихованную область, ограниченную предельными кривыми при Видно, что изменение параметра

слабо влияет на средний приток реагента к поверхности капли, т. е. никаким увеличением числа Пекле нельзя добиться существенного увеличения числа Шервуда. В частности, при максимальное относительное приращение среднего числа Шервуда за счет увеличения числа Пекле от нуля до бесконечности составляет всего около 25%. Последнее означает, что главным механизмом, влияющим на поведение основных характеристик интенсивности массопереноса внутри капли, является химическая реакция, в то время как интенсивность циркуляции (скорость течения) и геометрия потока слабо влияют на поведение этих характеристик.

Рис. 5.7. Зависимость среднего числа Шервуда от безразмерной константы скорости объемной химической реакции первого порядка (сплошные линии) для внутренней задачи при штриховая линия соответствует

В случае реакции нулевого порядка среднее число Шервуда определяется равенством в (7.3), что соответствует подстановке значения в выражение (7.2). Для химической реакции произвольного порядка из асимптотической формулы следует, что среднее число Шервуда монотонно уменьшается с ростом порядка реакции аналогичным свойством обладает и решение задачи (7.11), (7.13). Это означает, что при кривые, соответствующие предельному числу Шервуда при расположены между штриховой линией (соответствующей реакции нулевого порядка) и верхней сплошной кривой (реакция первого порядка, формула (7.14)). При уменьшении порядка реакции х сплошные кривые, соответствующие среднему числу Шервуда при постепенно сближаются и поднимаются вверх к штриховой линии. В предельном случае все три кривые сливаются в одну, т. е. для реакции нулевого порядка среднее число Шервуда вообще не зависит от числа Пекле.

При больших значениях константы скорости объемной химической реакции вблизи поверхности капли возникает тонкий пограничный слой, толщина которого при

малых и умеренных числах Пекле имеет порядок внутри которого растворенное в жидкости вещество успевает полностью прореагировать. При дальнейшем увеличении числа Пекле за счет интенсивной циркуляции жидкости внутри капли вещество уже не успевает полностью прореагировать в пограничном слое и начинает, выходя из погранслоя, проникать в глубь капли, переносясь вдоль линий тока, расположенных вблизи оси потока. При достаточно развитой циркуляции внутри капли возникает полностью сформировавшийся диффузионный след с существенно неоднородным распределением концентрации, который «пронизывает» всю каплю и через области передней и задней критических точек соединяет оба конца пограничного слоя (рис. 5.6). Последнее физически означает, что, несмотря на сильную химическую реакцию, растворенное в жидкости вещество при достаточно больших скоростях течения не успевает полностью прореагировать при его переносе вдоль линий тока вблизи оси потока. Следует отметить, что и в этом случае, ввиду равномерной по числу Пекле оценки (7.3), интенсивность массопереноса внутри капли в основном определяется скоростью химической реакции и слабо зависит от скорости движения жидкости.

В важном случае объемной химической реакции первого порядка анализ конвективного массопереноса внутри капли (течение Адамара — Рыбчинского) для больших значений числа Пекле и константы скорости химической реакции был проведен методом сращиваемых асимптотических разложений (по малому параметру в работе При этом внутри капли выделялись области с различными механизмами массопереноса, показанные на рис. 5.6. Уравнение диффузионного пограничного слоя внутри капли совпадает с соответствующим уравнением (6.8) для внешней задачи, однако «начальное» условие при здесь уже не задается концентрацией в ядре потока а должно определяться в ходе решения задачи путем сращивания решений в области и конвективно-погранслойной области следа при (Области задней и передней критических точек также внутренняяобласть диффузионного следа прилегающие непосредственно к оси потока, не вносят вклада в главный член асимптотического разложения концентрации в области диффузионного погранслоя Используя общее решение уравнения пограничного слоя (6.8) с произвольным «начальным» условием,

а также общее решение уравнения для концентрации в области в работе [22] было получено интегральное уравнение Фредгольма второго рода для «начальной» концентрации (поступающей на вход в диффузионный погранслой которое далее уже решалось численным методом.

Рис. 5.8. Зависимость среднего числа Шервуда от величины для внутренней (нижняя кривая) и внешней (верхняя кривая) задач, полученная для больших значений [22].

Результаты расчета среднего числа Шервуда для представлены на рис. 5.8 точками. Для сравнения здесь приведены также численные значения среднего числа Шервуда, соответствующего решению внешней задачи (верхняя кривая). Видно, что при средние числа Шервуда для внутренней и внешней задач о диффузии к поверхности капли заметно различаются.