Глава 3. ДИФФУЗИЯ К ТВЕРДОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ЧАСТИЦЕ И КРУГОВОМУ ЦИЛИНДРУ В ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ

В этой главе излагаются результаты приближенного аналитического исследования задачи о стационарном массообмене твердой сферической частицы и кругового цилиндра с ламинарным потоком жидкости при больших числах Пекле. Как и в гл. 1, предполагается, что на поверхности частицы протекает химическая реакция или процесс адсорбции (десорбции), в котором участвует вещество, растворенное в потоке, и что скорость этого процесса определяется диффузией реагента к поверхности частицы (диффузионный режим). Рассмотрены типичные простые случаи обтекания реагирующих частиц, которые часто используются при моделировании встречающихся на практике ситуаций и допускают сравнительно простой теоретический анализ. Целью анализа является получение приближенных формул для определения поля концентрации и диффузионного притока растворенного в жидкости вещества к поверхности сферы и кругового цилиндра.

§ 1. Сферическая частица в поступательном стоксовом потоке. Поле концентрации

Рассмотрим задачу о стационарной диффузии к поверхности сферической частицы, обтекаемой однородным поступательным потоком вязкой несжимаемой жидкости. Как и в предыдущих главах, будем считать, что число Пекле велико:

Безразмерное уравнение стационарной конвективной диффузии в сферической системе координат связанной с центром сферы, может быть записано в виде

В левой части уравнения (1.1) стоит якобиан безразмерной концентрации с и безразмерной функции тока

в качество характерных масштабов длины, скорости и концентрации выбраны радиус сферы, скорость набегающего потока и величина концентрации вдали от частицы; угол отсчитывается от направления потока на бесконечности.

Безразмерные граничные условия в предположении полного поглощения вещества на поверхности сферы и постоянства концентрации вдали от нее имеют вид

В частном случае стоксова обтекания сферы поступательным потоком функция тока фигурирующая в уравнении (1.1), имеет вид (см., например, [107])

Решение задачи (1.1) — (1.3) позволит описать распределение концентрации вещества в потоке, содержащем частицу, и рассчитать интенсивность массообмена частицы с потоком. Видно, что формулировка задачи (1.1) — (1.3) отличается от формулировки соответствующей задачи для жидкой частицы (гл. 1, § 1) лишь переходом к пределу при в выражении для функции тока и новым определением малого параметра а. Как и в случае капли, оценка толщины диффузионного пограничного слоя у поверхности твердой частицы приводит к величине порядка

Построение приближенного аналитического решения проводится методом сращиваемых асимптотических разложений, подробно описанным в гл. 1. Применить этот метод позволяет наличие в уравнении (1.1) малого параметра 8. При этом необходимо предварительное исследование задачи для выделения в потоке областей с различной структурой асимптотических решений, описывающих распределение концентрации. Каждое из них находится в результате решения приближенной, более простой, чем (1.1) — (1.3), задачи с применением процедуры сращивания.

Как и в случае жидкой частицы, в потоке около твердой сферы существуют семь областей с различной структурой асимптотических решений, соответствующих разным механизмам массопереноса. Это внешняя область область передней критической точки 6, диффузионный пограничный слой с исключенной областью передней критической точки и область диффузионного следа

которая свою очередь состоит из областей В каждой из областей уравнение (1.1) заменяется приближенным уравнением в результате выделения главных членов разложений по малому параметру

Рис. 3.1. Схема разбиения поля концентрации на области с различным механизмом массопереноса в случае твердой сферы в однородном поступательном потоке.

Характерные размеры областей и их условные границы в задаче (1.1) — (1.3) определяются из соображений, подробно изложенных в гл. 1, с использованием вспомогательной функции

являющейся в указанных выше областях наиболее простой комбинацией сферических координат, обладающей одинаковыми свойствами с функцией тока обтекания твердой частицы (1.3) при соответствующих деформациях координат

На рис. 3.1 изображены характерные области с различными механизмами массопереноса, показанные также и в связанной с функцией тока системе координат, в которой все характерные области имеют вид прямоугольников.

Во внешней области в главном приближении по параметру в уравнении (1.1) существен лишь конвективный член, откуда следует, что в этой области концентрация равна значению на бесконечности

В области передней критической точки в упрощенном уравнении (1.1) сохраняются конвективные члены, а также члены, соответствующие молекулярной диффузии в тангенциальном и радиальном направлениях.

В диффузионном пограничном слое с исключенной областью передней критической точки в уравнении (1.1) можно пренебречь тангенциальным диффузионным переносом вещества по сравнению с диффузией в радиальном направлении.

В конвективно-погранслойной области диффузионного следа существенны лишь конвективные члены, поэтому концентрация здесь зависит лишь от функции тока и вдоль линии тока сохраняет постоянное значение, которое определяется величиной концентрации на выходе из диффузионного пограничного слоя.

Во внутренней области диффузионного следа можно пренебречь радиальным переносом вещества к поверхности сферы.

В области задней критической точки в уравнении (1.1) сохраняются члены, описывающие диффузию в радиальном и тангенциальном направлениях.

В области смешения оказывается несущественным радиальный перенос вещества.

Следуя процедуре, аналогичной описанной в гл. 1, найдем распределение концентрации в указанных выше областях с различными механизмами массопереноса и получим формулы для расчета интенсивности массообмена частицы с потоком [32, 72, 73, 160, 181].

Область передней критической точки и диффузионный пограничный слой. В области передней критической точки введем растянутые координаты

используя которые, запишем главный член разложения функции тока (1.3) по степеням в в виде

Далее запишем в переменных (1.6) с учетом выражения (1.7) приближенное уравнение, граничные условия

и условия сращивания для распределения концентрации в области передней критической точки:

Второе граничное условие в (1.8) является следствием симметрии задачи. Условия (1.9) и (1.10) следуют из условий асимптотического сращивания рошения в рассматриваемой области с решениями в прилегающих областях — внешней области и области диффузионного пограничного слоя с исключенной областью передней критической точки (рис. 3.1).

Условие при содержит асимптотику распределения концентрации в области при

При изучении поля концентрации в области воспользуемся переменными Мизеса 0, где

Выделение старших членов разложения по малому параметру из уравнения (1.1) с учетом (1.11), равенств а также соотношений

приводит к следующему уравнению для концентрации:

которое в переменных

примет вид

Граничные условия для уравнения (1.13) следуют из условия полного поглощения на поверхности сферы (1.2) и условия сращивания с решением (1.5) во внешней области:

Как и в случае жидкой частицы, формулировку задачи (1.13), (1.14) необходимо дополнить условием при следующим из условия сращивания решений в областях

С учетом (1.5) в переменных это условие запишем в виде

Решение задачи (1.13) — (1.15) является автомодельным и оказывается справедливым во всей области диффузионного пограничного слоя Оно имеет вид

где неполная гамма-функция.

В исходной системе сферических координат распределение концентрации в диффузионном пограничном слое можно записать в форме

В области передней критической точки концентрация определяется выражением

и изменяется от нуля на поверхности сферы до единицы на расстоянии порядка (см. гл. 1, § 2).

Диффузионный след. Хотя протяженность области диффузионного следа по порядку величины отличается от размеров циффузиоцного следа капли, ее структура

остается прежней, и приближенное решение строится в ней в виде совокупности решений в четырех аналогичных случаю капли подобластях

В конвективно-погранслойной области диффузионного следа как и во внешней области имеем Поэтому перенос приходящего из диффузионного пограничного слоя вещества в происходит без изменения концентрации вдоль линий тока. Явный вид распределения концентрации в этой области определяется сращиванием с решением в диффузионном пограничном слое (1.16) [181]:

где

Решение (1.18), как и решение в диффузионном погранслое (1.16), непригодно вблизи оси диффузионного следа 00, где необходимо выделить внутреннюю область диффузионного следа в которой диффузия в радиальном направлении несущественна, а в тангенциальном направлении сравнима с тангенциальным конвективным переносом.

При анализе распределения концентрации в области следа, как и в гл. 1, запишем уравнение диффузии в переменных

Все коэффициенты в уравнении (1.19) должны быть выражены через с использованием выражения для функции тока (1.3).

В области с точностью до главных членов разложения по выполняются равенства

С учетом соотношений (1.20) из уравнения (1.19) получим для распределения концентрации в области

уравнение

где

Выбор растянутой координаты обеспечивает одинаковый порядок величин обеих частей уравнения (1.21). Условие симметрии

и условия сращивания с решениями в прилегающих областях и записанные через переменную в данном случае имеют вид

При получении граничного условия (1.24) использовано выражение для распределения концентрации в конвективно-погранслойной области с учетом того, что на границе с внутренней областью переменная Условие (1.24) содержит решение в области задней критической точки поэтому область задней критической точки и внутреннюю область диффузионного следа следует рассматривать совместно.

Растянутые координаты в области имеют вид

Первая из новых координат фигурировала ранее в граничном условии (1.25).

Главный член разложения функции тока (1.3) по параметру в переменных определяется формулой (1.7) с заменой переменной X на . В главном приближении по 8 уравнение (1.1), первое

условие условие (1.22) в области примут вид

Следует отметить, что уравнение (1.27) для концентрации в области отличается от соответствующего уравнения (1.8) для концентрации в области заменой на и X на Условие сращивания для концентрации с решением в граничащей с внутренней области задается равенством (1.25), а условие сращивания с решением в области диффузионного пограничного слоя (1.16) — соотношением

В условии (1.28) правая часть представляет собой главный член асимптотики решения (1.16) при

Сравнивая теперь граничные условия (1.24) и (1.28), заключаем, что концентрация во внутренней области диффузионного следа имеет порядок а в области задней критической точки — порядок . С учетом этого и из условия сращивания решений в этих областях (1.25) получаем, что правая часть (1.25) при должна обращаться в нуль, что и дает граничное условие для распределения концентрации в

Решение задачи (1.21), (1.23), (1.29) для распределения концентрации в области может быть найдено в виде [72]

Для определения неизвестной функции получаем уравнение

Уравнение (1.31) является вырожденным гипергеометрическим уравнением, поэтому для распределения

концентрации в области имеем

где

— вырояденная гипергеометрическая функция.

Используя теперь выражение (1.32) и условие сращивания решений в областях получаем следующее граничное условие для концентрации в области задней критической точки:

При выводе условия (1.33) использованы равенство и соотношения (1.3), (1.26).

В отличие от рассмотренного в гл. 1 случая диффузии к поверхности капли, решение задачи (1.27), (1.28), (1.33) для распределения концентрации в области не может быть получено в явном аналитическом виде. Численный анализ поведения концентрации был проведен в работе [181].

Решение (1.32) непригодно вне области ниже по потоку; в частности, оно не удовлетворяет условию на бесконечности (второе граничное условие (1.2)), так как на оси потока дает неограниченное возрастание концентрации с ростом у. Определяемое формулой (1.18) решение также непригодно вне области W поскольку т. е. оно также не удовлетворяет второму граничному условию (1.2). Поэтому необходимо рассмотреть еще область смешения где, как и в радиальной диффузией вдоль линий тока можно пренебречь по сравнению с тангенциальной. Уравнение и граничные условия для выводятся с использованием деформированных переменных

Из уравнения (1.19) и условий (1.2), (1.5), (1.22) получим следующее уравнение и граничные условия для

Воспользовавшись формулами (1.18), (1.32), для условия сращивания решения в области с решениями в соседних областях и (рис. 3.1) получим

Нижнее выражение определяет условие сращивания с решением во внутренней области диффузионного следа на границе с которой переменная принимает малые значения порядка 8 и выполняется равенство

Решение задачи (1.35) имеет вид

где модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, при фиксированном имеет место свойство [185].

Решение (1.37) удовлетворяет также и нижнему условию в (1.36), т. е. выполняется условие сращивания с решением в области При доказательстве этого свойства решения (1.37) примем во внимание, что на границе с областью выполняется соотношение Далее, в интеграле (1.37) делаем замену переменной переходим к пределу при и учитываем приведенное в гл. 1 (формула соотношение, связывающее интеграл, содержащий модифицированную функцию Бесселя, с вырожденной гипергеометрической функцией.

Ограничиваясь главным членом разложения при придем к нижнему равенству (1.36). Следовательно, выражение (1.37) является решением задачи (1,35), (1.36) и дает распределение концентрации в области смешения диффузионного следа

Таким образом, выше изучено распределение концентрации во всех областях, причем всюду, за исключением области задней критической точки оно описывается аналитическими выражениями. Из формул (1.32), (1.37) видно, что концентрация в области диффузионного следа отлична от нуля и при фиксированном расстоянии до поверхности сферы достигает минимума на оси потока

где растет пропорционально квадратному корню из расстояния до поверхности сферы:

при причем зависимость концентрации от угла и радиальной координаты (1.37) оказывается достаточно сложной.

Из сопоставления с аналогичными результатами (гл. 1, § 3) для капли в области видно, что в диффузионном следе за твердой частицей поток менее обеднен реагентом, чем в следе за каплей, а концентрация имеет порядок (для капли При этом за каплей на оси потока наблюдается линейный рост концентрации с увеличением расстояния от ее поверхности, в то время как концентрация за твердой сферой растет значительно медленнее (формула (1.38)).

Полученные выше выражения для концентрации в каждой из рассмотренных областей являются главными членами асимптотических разложений поля концентрации по параметру Уравнения и граничные условия для следующих членов соответствующих разложений получаются методом, аналогичным описанному в § 4 гл. 1.

Двучленное разложение концентрации в диффузионном пограничном слое При стоксовом обтекании] сферы было получено в работе [114].