§ 5. Диффузия к твердой сфере и круговому цилиндру. Интерполяционная формула для среднего числа Шервуда

Случай изотермической химической реакции первого порядка на поверхности плоской пластины, продольно обтекаемой поступательным потоком вязкой несжимаемой жидкости при больших числах Пекле и Рейнольдса, рассматривался в работах [62, 125]; аналогичное исследование для произвольной кинетики поверхностной реакции было проведено в (см. также книги [6, 60] и обзор [98]).

Рассмотрим массообмен твердой сферической частицы, обтекаемой однородным поступательным стоксовым потоком со скоростью и концентрацией на бесконечности. Функция тока задается выражением (1.3) гл. 3.]

В сферической системе координат, связанной с центром частицы, перенос реагента к частице при протекании на ее поверхности произвольной химической реакции определяется безразмерными уравнениями и граничными условиями (1.2) — (1.4), где

Здесь в качестве масштабов длины и скорости выбраны радиус сферы а и скорость потока вдали от частицы

Новые переменные (1.6) в этом случае определяются формулами

Функция входящая в граничное условие на поверхности сферы (1.9), в силу (5.1), (5.2)

задается в параметрическом виде

Функция в окрестности передней критической точки сферы может быть представлена в виде ряда

Используя разложение (5.4) в уравнении (1.12), можно получить выражение для ядра интегрального оператора (1.10) в виде локально сходящегося ряда в окрестности для случая поверхностной реакции первого [92] и произвольного [93] порядков.

Локальный диффузионный поток в передней критической точке сферы определяется путем решения алгебраического уравнения (1.5), (2.17), где величина предельного локального потока вычисляется по формуле (см. формулу (4.1) гл. 3). В [166] показано, что приближение диффузионного пограничного слоя равномерно пригодно по малому параметру в передней критической точке сферы.

Рис. 5.2. Распределение локального диффузионного потока по поверхности сферической частицы, обтекаемой поступательным стоксовым потоком.

В случае реакции произвольного порядка (1.1) решение интегрального уравнения для локального диффузионного потока (2.8) при было получено в работах [92, 93, 166]. Среднее число Шервуда вычислялось по формуле

(2.5). Зависимость локального диффузионного потока от для реакции порядка представлена на рис. 5.2 штриховыми, сплошными и штрих-пунктирными линиями соответственно при указанных значениях к

Отметим, что локальный диффузионный поток в малой окрестности задней критической точки сферы превышает локальный поток в условиях полного поглощения вещества поверхностью частицы. Последнее объясняется тем, что в окрестности задней критической точки всегда существует область диффузионного режима протекания реакции (т. е. при а поток жидкости в этой области обеднен менее чем в случае полного поглощения.

Рис. 5.3. Зависимость нормированного среднего числа Шервуда от параметра для твердой сферы.

Зависимость нормированного среднего числа Шервуда от параметра к для тех же значений порядка реакции х приведена на рис. 5.3, где среднее число Шервуда, соответствующее условию полного поглощения на поверхности сферы

Из результатов численных расчетов, приведенных на рис. 5.2 и 5.3, следуют качественные выводы, аналогичные сделанным в случае стоксова обтекания сферической капли (см. § 4).

В работе [45] рассмотрена плоская задача о диффузии к круговому цилиндру, обтекаемому в поперечном направлении потоком при малых числах Рейнольдса, в случае поверхностной химической реакции порядка . В этом случае в уравнении диффузионного пограничного слоя и граничных условиях (1.2) — (1.4) фигурируют величины (см. § 6 гл. 3)

где характерная скорость, определяемая формулой (6.3) гл. 3 (при записи (1.2) - (1.4), (5.5) используется полярная система координат, значение соответствует точке натекания).

Зависимости нормированного интегрального диффузионного потока на единицу длины цилиндра от комплекса к полученные численным интегрированием приведены на рис. 5.4 для реакций половинного, первого и второго порядков. Здесь среднее число Шервуда при условии полного поглощения растворенного в жидкости вещества на поверхности цилиндра, определяемое формулой ((5.11) гл. 3.

Рис. 5.4. Зависимость нормированного среднего числа Шервуда от величины к для обтекания кругового цилиндра при малых числах Рейнольдса в случае степенного закона поверхностной химической реакции.

Интерполяционная формула для среднего числа Шервуда. В работах [47, 166] было предложено определять приближенное значение среднего числа Шервуда путем решения следующего алгебраического интерполяционного уравнения:

где среднее число Шервуда при условии полного поглощения вещества на поверхности частицы, I — безразмерный интегральный диффузионный поток, -безразмерная площадь поверхности частицы.

В частном случае реакции первого порядка решение уравнения (5.6) совпадает с формулой, предложенной в [101, 104]:

Уравнение (5.6) полностью аналогично по структуре уравнению для локальных диффузионных потоков в случае равнодоступной поверхности (2.10) и уравнению для локальных потоков в передней критической точке частицы (2.17) и может быть получено путем формальной замены локальных потоков в (2.10), (2.17) соответствующими средними числами Шервуда.

Из указанных аналогий следует, что интерполяционное уравнение (5.6) для реакции произвольного порядка (1.5) правильно описывает асимптотическое поведение

среднего числа Шервуда при больших значениях константы скорости реакции к и числа Пекле Кроме того, уравнение (5.6) дает точный результат во всех случаях, когда поверхность равнодоступна в диффузионном отношении (так как в этом случае локальный диффузионный поток совпадает со средним числом Шервуда).

При больших числах Пекле (в приближении диффузионного пограничного слоя) в случае изотермической реакции порядка проверка пригодности интерполяционного уравнения (5.6) проводилась во всем диапазоне изменения параметра к путем сравнения его корня с точными результатами, полученными в §§ 4, 5 для среднего числа Шервуда численным интегрированием соответствующих интегральных уравнений в случае поступательного стоксова обтекания сферы, кругового цилиндра, капли и пузыря. Результаты сопоставления точных и приближенных значений числа Шервуда показывают, что максимальное отклонение корня уравнения (5.6) от точного решения наблюдается при к и не превышает 10%.

Пригодность приближенного уравнения (5.6) при промежуточных значениях чисел Пекле и Рейнольдса в случае поступательного вязкого обтекания твердой сферы проверялась путем сравнения с известными результатами численного решения соответствующей задачи для поверхностной химической реакции первого порядка при (этим значениям числа Пекле соответствовали значения числа Рейнольдса . Из таблицы 13, приведенной в книге [12], следует, что использование уравнения (5.6) приводит к очень хорошим результатам (ошибка не превосходит ).

Далее будет показано (см. гл. 6), что уравнение (5.6) является асимптотически точным при малых числах Пекле для любой кинетики химической реакции на поверхности частицы во всем диапазоне значений константы скорости реакции. В этом случае оно может быть непосредственно выведено методом сращиваемых асимптотических разложений по малому числу Пекле из полного уравнения конвективной диффузии.

Уравнение (5.6) может быть успешно использовано также для приближенного определения среднего числа Шервуда для капли или частицы произвольной формы [47].

Отметим, что в работе [71] рассматривалась неизотермическая химическая реакция на поверхности плоской

пластины, обтекаемой потоком вязкой несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса (течение Блазиуса) в случае, когда константа скорости поверхностной реакции зависит от температуры но закону Аррениуса. Решение интегрального уравнения для поверхностной концентрации строилось итерационным методом.