§ 4. Массоперенос к каплям, движущимся одна за другой

В литературе отсутствуют примеры строгого анализа чрезвычайно сложной задачи о массообмене нескольких жидких частиц в случаях, когда частицы оказывают существенное гидродинамическое и диффузионное влияние друг на друга и их нельзя считать одиночными. Изложенный в первой главе асимптотический метод позволяет рассмотреть некоторые модельные задачи такого типа и получить расчетные формулы для оценки взаимного влияния соседних частиц на массообмен каждой из них с потоком. Предполагается, что обтекание частиц и диффузию реагента можно считать установившимися и что эти процессы характеризуются малыми числами Рейнольдса и большими числами Пекле. Массообмен в системе движущихся капель при больших числах Пекле сильно зависит от расположения особых линий тока, начинающихся и оканчивающихся на поверхностях капель. Из результатов гл. 1 следует, что в окрестности особой линии тока, выходящей из расположенной в кормовой части капли критической точки стекания, образуется протяженный след, в котором концентрация реагента существенно ниже, чем в натекающем потоке. При этом, если в потоке существуют цепочки капель, связанных критическими линиями тока, выходящими из кормовой точки стекания одной капли и приходящими в точку натекания другой капли, то интенсивность массообмена капель цепочки с потоком может сильно уменьшиться из-за взаимодействия диффузионных следов и погранслоев капель.

Такая ситуация может встретиться на практике, например, при экстракции из капель и растворении газа из пузырьков, в частности, когда в экстракционной колонне ввод капель осуществляется в одних и тех же точках через равные промежутки времени, а при барботаже — в случае постоянного расхода барботирующего газа, что позволяет приближенно считать размер образующихся пузырей и расстояние между ними в каждой цепочке одинаковыми. Следуя результатам работ [33, 74, 137] и используя метод, описанный в § 1, рассмотрим процесс диффузии растворенного в потоке вещества к поверхностям осесимметричных капель (пузырей), движущихся одна за другой в покоящейся вязкой жидкости. Разумеется, практическое использование результатов такого анализа сильно ограничено тем, что, во-первых,

в реальных условиях расстояния между каплями в цепочке меняются с течением времени и стационарный режим обтекания нарушается и, во-вторых, часто не соблюдается «центровка» капель, требующая, чтобьг траектория стекания для предыдущей капли переходила в траекторию натекания для последующей.

Обтекание капель будем считать ламинарным, без застойных зон (в потоке отсутствуют замкнутые линии тока); поле скоростей, определяемое функцией тока будем предполагать известным из решения соответствующей гидродинамической задачи (см., например, [141, 168, 179, 193]).

Рис. 2.5. Схема ноля обтекания двух капель.

В рассматриваемом случае на поверхности каждой капли имеются только две изолированные особые точки, натекания и стекания, лежащие на оси симметрии (рис. 2.5).

Для каждой капли может быть введена сферическая система координат, в которой уравнение поверхности имеет вид (к — номер капли; нумерация ведется вдоль по потоку), где является однозначной функцией угла полярный угол отсчитывается от критической точки стекания, т. е.

Для каждой частицы функция тока в области, не захватывающей другие частицы, обладает следующими свойствами:

Здесь и далее, где это не приводит к путанице, индекс к будем опускать; свойство (4.1) следует из условия равенства нулю нормальной составляющей скорости на поверхности капли; свойство (4.2) следует из осевой симметрии задачи. В частном случае одиночной сферической

капли в однородном стоксовом потоке эти свойства следуют из формулы для функции тока (см. гл. 1).

Как и прежде, будем считать, что скорость массообмена капель с потоком лимитируется процессом диффузии во внешнем потоке. Тогда распределение концентрации в потоке определяется решением уравнения стационарной конвективной диффузии с граничными условиями постоянства концентрации вдали от капель и полного поглощения растворенного вещества на их поверхностях.

Определение диффузионного притока вещества к каждой из капель в рассматриваемом случае следует проводить последовательно, начиная с первой капли, так как условие для концентрации растворенного вещества в натекающем потоке для каждой капли зависит от ее относительного положения в цепочке и устанавливается из решения задачи о диффузии к каплям, расположенным выше по потоку.

Случай двух капель. В соответствии с результатами гл. 1 в окрестности первой капли можно выделить семь областей с различными механизмами массопереноса.

На рис. 2.5 показана качественная картина обтекания двух капель. Область основного изменения концентрации, расположенная вблизи поверхностей капель и оси потока и содержащая области диффузионных следов и погранслоев капель, заштрихована.

Опуская промежуточные выкладки, которые с использованием свойств функций тока (4.1), (4.2) проводятся аналогично выкладкам гл. 1, приведем окончательные выражения для главных членов асимптотического разложения распределения концентрации в областях диффузионного следа первой капли. Далее, число Пекле определяется по характерному линейному размеру капель (например, по радиусу сферы, объем которой равен объему одной из капель).

В конвективно-погранслойной области диффузионного следа где а величина определена в (4.2), распределение концентрации имеет вид

Во внутренней области диффузионного следа и окрестности задней критической точки концентрация задается единой формулой

В области смешения диффузионного следа концентрация определяется выражением, аналогичным формуле (3.20) гл. 1.

В окрестности второй капли также можно выделить области Как и в случае одиночной капли, диффузионный приток вещества на поверхность второй капли с точностью до поправок более высокого порядка малости определяется массообменом в области ее диффузионного пограничного слоя и, следовательно, зависит от концентрацхга растворенного в жидкости вещества, поступающего в погранслой, т. е. от распределения концентрации вблизи расположенной на оси симметрии особой линии тока, приходящей в критическую точку натекания второй капли.

При симметричном обтекании двух капель линия тока, вышедшая из задней критической точки (точки стекания) первой капли, попадает в переднюю критическую точку (точку натекания) второй капли. Ввиду того, что за первой каплей вблизи оси симметрии имеется диффузионный след толщиной для определения распределения концентрации около второй капли необходимо произвести сращивание решений в областях передней критической точки и диффузионного пограничного слоя второй капли с решениями в областях или (в зависимости от расстояния между каплями) первой капли (рис. 2.6). Если ограничиться нахождением главного члена разложения полного диффузионного потока на вторую каплю по степеням в, то достаточно получить решение задачи в диффузионном пограничном слое второй капли.

Рис. 2.6, а соответствует случаю, когда безразмерное расстояние между каплями удовлетворяет условию а рис. 2.6, б — случаю Для удобства на рисунках использованы переменные поэтому условными границами всех областей с различными механизмами массопереноса являются отрезки, параллельные одной из осей.

Рассмотрим сначала случай который соответствует сращиванию конвективно-погранслойной области диффузионного следа первой капли с диффузионным пограничным слоем второй.

Рис. 2.6. Схема разбиения поля концентрации на области с различной структурой асимптотических решений в случае двух капель при условии:

Так как отношение толщины внутренней области диффузионного следа первой капли к толщине конвективно-погранслойной области диффузионного следа является малой величиной порядка (см. рис. 2.6, а), то распределение концентрации в области не влияет на старшии член разложения решения в диффузионном пограничном слое второй капли Аналогично тому, как это было сделано в гл. 1, можно показать, что распределение концентрации в области передней критической точки не влияет на распределение концентрации в области

Уравнение диффузионного пограничного слоя в окрестности второй капли выводится с помощью процедуры, описанной в § 1; граничные условия полного поглощения растворенного в потоке вещества на поверхности капли и постоянства концентрации вдали от нее (в

области остаются теми же, что и для одиночной частицы. Условие сращивания решений в областях и задает начальное условие на «входе» в диффузионный погранслой второй капли, которое определяется выражением (4.3).

Полная формулировка погранслойной задачи для второй капли имеет вид

Непосредственной проверкой легко убедиться, что решением задачи (4.5) является функция

Случай, когда расстояние между каплями удовлетво ряет условию соответствует взаимодействию области смешения диффузионного следа первой капли диффузионным погранслоем второй (см. рис. 2.6, б). При этом условие сращивания решений в этих областях определяет начальное условие на «входе» в диффузионный погранслой и задается формулой для уравнение и первые два граничных условия при будут теми же, что и в выражении (4.5).

Распределение концентрации в диффузионном пограничном слое второй капли определяется решением задачи (4.5) с условием с и может быть записано в виде

где

При известной функции тока, описывающей обтекание обеих капель, формулы и (4.7) дают возможность рассчитать распределение концентрации вблизи поверхностей капель и далее, воспользовавшись стандартными формулами (5.1), (5.2) гл. 1, определить интенсивности локального и интегрального массообменов каждой из капель.

Цепочка капель. Описанные выше результаты нетрудно обобщить на случай произвольного числа реагирующих капель, движущихся одна за другой. Считаем, что характерные размеры капель цепочки имеют одинаковый порядок величины.

Как и прежде, рассмотрим сначала случай, когда безразмерные расстояния между каплями удовлетворяют условию т. е. условие на входе в диффузионный пограничный слой каждой капли определяется распределением концентрации в конвективно-погранслойной области диффузионного следа предыдущей капли.

Рекуррентная система уравнений, описывающая распределение концентрации в диффузионном пограничном слое капли цепочки, имеет вид

Здесь учтено, что концентрация в конвективно-погранслойной области каждой капли переносится без изменения вдоль линий тока и определяется значениями на выходе из ее диффузионного пограничного слоя

Введение новой переменной

сводит краевую задачу (4.8) к задаче для одного уравнения

решение которого дает распределение концентрации в диффузионном погранслое капли:

Локальный и полный диффузионные потоки на каплю даются выражениями

Здесь суммарный диффузионный поток на первые к капель цепочки.

В случае, когда безразмерное расстояние между каплями удовлетворяет неравенству условие на входе в диффузионный погранслой каждой капли определяется распределением концентрации в области смешения диффузионного следа предыдущей капли Рассуждая так же, как и в случае двух капель, можно получить рекуррентную цепочку уравнений для распределения концентрации в аналогичную (4.10); при этом уравнение и два первых граничных условия останутся теми же, а начальное условие при будет следующим:

В этом случае уже нельзя получить такого простого решения, как (4.12), однако для концентрации можно записать рекуррентную формулу

в которой интегральный оператор определен формулой

Для иллюстрации полученных формул рассмотрим цепочку капель сферической формы с безразмерными радиусами движущихся на расстояниях одна за другой в режиме стоксова обтекания; вязкости капель одинаковы. В сферической системе координат, связанной с центром капли, функция тока имеет вид

Учитывая соотношения

и используя формулы (4.14), для полных диффузионных потоков на капли получаем формулы

Здесь полный диффузионный поток на поверхность первой капли соответствует газовым пузырям).

Для цепочки капель (пузырей) равного радиуса, движущихся с одинаковой скоростью, получим, полагая в формулах

Видно, что суммарный диффузионный поток пропорционален квадратному корню из общего числа капель в цепочке, т. е. значительно меньше суммы потоков на капли в случае, если бы они рассматривались как одиночные. Таким образом, в цепочках капель (пузырей) имеет место существенное торможение процесса массообмена по сравнению с изолированной каплей, что связано с тем, что находящиеся вверх по потоку капли экранируют последующие. В силу (4.17) полный диффузионный поток на каплю цепочки убывает при больших к по закону

Видно, что полный диффузионный поток на вторую каплю более чем в два раза меньше, чем на первую, а на третью каплю уже в три раза меньше, чем на первую.

Найдем теперь среднее число Шервуда для цепочки капель равного радиуса, определяя его аналогично (1.9):

где суммарный безразмерный диффузионный поток на все капли системы, а — суммарная безразмерная площадь поверхностей капель.

Учитывая, что для цепочки сферических капель равного радиуса а определяется по формуле (4.17), из выражения (4.19) получаем

т. е., как и следовало ожидать, вследствие взаимного экранирования среднее число Шервуда для цепочки капель может быть как угодно малым при достаточно большом числе капель.

В заключение отметим, что наличие областей замкнутой циркуляции за каплями цепочки ослабляет затормаживающее влияние диффузионных следов. Это происходит вследствие существенного насыщения концентрации в следе в -окрестности особой поверхности — границы стационарного вихря за каплей. В отличие от диффузионного следа, расположенного в окрестности изолированной особой линии тока, в окрестности границы области замкнутой циркуляции отсутствует конвективно-погранслойная область диффузионного следа, в которой концентрация переносилась бы без изменений вдоль линий (поверхностей) тока. При этом следует учитывать, что при наличии в цепочке областей замкнутой циркуляции за каплями интенсификация массопереноса к цепочке происходит не только благодаря влиянию диффузионных погранслоев и следов капель, но и вследствие увеличения скорости жидкости вблизи поверхностей капель по сравнению со случаем обтекания без застойных зон.