§ 7. Диффузия к закрепленному и свободно вращающемуся цилиндрам в произвольном стационарном линейном сдвиговом потоке

Массообмен закрепленного цилиндра [87]. Рассмотрим диффузию к поверхности закрепленного твердого кругового цилиндра радиуса а, обтекаемого стационарным однородным линейным сдвиговым потоком в плоскости, нормальной к оси цилиндра. Распределение скоростей такого течения вдали от цилиндра в декартовой системе безразмерных координат (а — масштаб длины) может быть представлено в виде

где

Здесь безразмерные скорость и компоненты тензора сдвига, способ нормировки которых будет указан далее; равенство суммы диагональных элементов нулю является следствием несжимаемости жидкости Тензор в (7.1) записан в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров, которые соответствуют чисто деформационной и чисто вращательной составляющим движения жидкости на бесконечности. В общем

случае тензор определяется заданием трех независимых величин:

В стоксовом приближении решение гидродинамической задачи о распределении скоростей потока с граничными условиями на бесконечности (7.1) и прилипания на поверхности цилиндра можно получить, используя результаты работы [129], что приводит к следующему выражению для функции тока:

Система координат полученная из исходной путем поворота на угол связана с главными осями симметричного тензора (в главных осях тензор приводится к диагональному виду с элементами . Величина определяется способом нормировки компонент тензора а параметр соответствует безразмерной угловой скорости вращения потока на бесконечности. Простой сдвиг задается значениями в выражениях (7.1), (7.2).

Структура линий тока существенным образом зависит от отношения параметров Далее без ограничения общности полагаем в выражении что соответствует следующему способу введения безразмерных величин в (7.1):

где звездочкой помечены аналогичные размерные величины, характерная скорость потока.

Функция тока (7.2) обладает следующими предельными свойствами:

вблизи поверхности цилиндра

на бесконечности

Исследуем теперь массообмен кругового цилиндра, обтекаемого произвольным сдвиговым потоком (7.1), (7.2), в зависимости от параметра при больших числах Пекле

Рис. 3.7. Схема обтекания закрепленного кругового цилиндра линейным сдвиговым потоком: а) деформационное течение простой сдвиг

Далее ограничимся случаем когда все линии тока разомкнутый на поверхности цилиндра имеются четыре особые критические точки (рис. 3.7). В силу четности среднего числа Шервуда по параметру достаточно изучить область

При на поверхности цилиндра имеются четыре критические точки:

где значения соответствуют траекториям натекания, а стекания. Увеличение угловой скорости вращения потока на бесконечности от нуля до единицы сдвигает критическую точку стекания на поверхности цилиндра против часовой стрелки на 15.

Введем в диффузионном пограничном слое растянутую координату учитывая асимптотику функции тока вблизи поверхности цилиндра (7.4), выделим главные члены разложения из уравнения

конвективной диффузии (6.1), (6.2) при больших числах Пекле. В результате несложных преобразований для распределения концентрации получаем задачу (6.6), (6.7), решение которой дается формулой (1.16), где

Поэтому для локального диффузионного потока на поверхность цилиндра получаем

Интегрирование этого выражения по приводит к следующей формуле для среднего числа Шервуда:

В частных случаях чисто деформационного и простого линейного сдвигового обтекания цилиндра выражение (7.7) переходит в результаты работ [162, 163]:

Из формулы (7.7) следует, что рост абсолютной величины безразмерной угловой скорости вращения сдвигового потока приводит к небольшому снижению интенсивности массо- и теплообмена цилиндра с окружающей жидкостью. При этом, как видно из (7.8), среднее число Шервуда очень слабо меняется в рассматриваемом диапазоне (относительное приращение

среднего числа Шервуда при увеличении от нуля до единицы составляет всего Последнее обстоятельство позволяет для приближенного вычисления среднего числа Шервуда, соответствующего обтеканию закрепленного кругового цилиндра произвольным сдвиговым потоком, использовать первую формулу (7.8).

Случай который характеризуется наличием окружающих цилиндр замкнутых линий тока, будет рассмотрен в конце этого параграфа.

Массообмен свободно вращающегося цилиндра [163]. Исследуем теперь конвективный массоперенос к поверхности кругового цилиндра, свободно взвешенного в произвольном линейном сдвиговом потоке. Распределение скоростей жидкости такого течения вдали от цилиндра, как и ранее, задается соотношением (7.1). На поверхности цилиндра должны соблюдаться следующие граничные условия:

которые являются следствием условия прилипания жидкости на поверхности свободно взвешенного в однородном сдвиговом потоке кругового цилиндра с учетом того, что он вращается с постоянной угловой скоростью, равной скорости вращения потока на бесконечности.

Нетрудно показать, что решение гидродинамической задачи об обтекании свободно вращающегося цилиндра произвольным сдвиговым стоксовым потоком с граничными условиями (7.1), (7.9) определяется выражениями

где параметры и координата описаны в формулах (7.1), (7.2). Видно, что функция тока (7.10) отличается от функции тока для закрепленного цилиндра (7.2) только отсутствием последнего логарифмического члена Как и ранее, будем считать, что безразмерные величины, входящие в (7.10), введены по правилу (7.3), т. е.

Главный член асимптотики функции тока вдали от цилиндра определяется выражением (7.5). В данном

случае на поверхности цилиндра при отсутствуют критические точки и имеются два качественно различных типа течения, которые характеризуются величиной угловой скорости . А именно, при в потоке имеются как замкнутые, так и разомкнутые линии тока;

Рис. 3.8. Схема обтекания свободно вращающегося кругового цилиндра линейным сдвиговым потоком (предельные линии тока выделены): а) простой сдвиг общий случай плоского сдвигового течения

при этом существует примыкающая к поверхности цилиндра область с полностью замкнутыми линиями тока, а вдали от цилиндра линии тока разомкнуты (рис. 3.8); при все линии тока замкнуты.

Рассмотрим сначала случай Как следует из формул (7.10), в потоке существуют две критические точки с координатами

в которых скорость жидкости обращается в нуль: Эти особые точки являются точками самопересечения предельной линии тока, которая разграничивает области с замкнутыми и разомкнутыми линиями тока (рис. 3.8).

Значение функции тока, соответствующее предельной линии тока, найдем путем подстановки координат критических точек (7.11) в выражение (7.10). В результате получим

При из формул (7.11), (7.12) имеем при уменьшении угловой скорости вращения потока критические точки стремятся к поверхности цилиндра. В другом предельном случае что соответствует простому сдвигу, получаем критические точки уходят на бесконечность).

Внутри примыкающей к поверхности цилиндра области замкнутой циркуляции все линии тока в силу (7.10) могут быть записаны в явном параметрическом виде

При анализе конвективного массопереноса к поверхности свободно вращающегося кругового цилиндра в произвольном сдвиговом потоке необходимо учитывать следующее важное обстоятельство: внутри примыкающей к поверхности цилиндра области с замкнутыми линиями тока не происходит формирования диффузионного пограничного слоя при больших числах Пекле (диффузионный пограничный слой всегда «порождается» критическими линиями тока, которые приходят из бесконечности на поверхность тела).

В случае в области с разомкнутыми линиями тока — концентрация постоянна и равна своему значению на бесконечности. Поэтому граничное условие вдали от частицы «сносится» на поверхность

Для анализа распределения концентрации в области циркуляции перейдем от цилиндрической системы координат к новой ортогональной системе координат где координата отсчитывается вдоль линии тока. В новой системе координат вектор скорости жидкости будет иметь лишь одну отличную от нуля компоненту а уравнение диффузии (6.1) и граничные условия записываются в виде

Решение задачи (7.14), (7.15) ищем виде регулярного асимптотического разложения по обратным степеням числа Пекле:

Подставляя (7.16) в уравнение (7.14) и граничные условия (7.15) и выделяя члены при одинаковых степенях числа Пекле, для нулевого и первого членов разложения получаем

Из уравнения (7.17) следует лишь, что нулевой член разложения концентрации зависит только от функции тока, т. е. Для получения дополнительной информации о нем обратимся к уравнению для следующего члена разложения — Интегрирование этого уравнения по замкнутым линиям тока позволяет исключить величину и приводит к следующей краевой задаче для определения функции [161]:

где

Величины в формуле (7.20) должны быть выражены как функции и путем подстановки зависимости (7.13) в соотношения (7.10). Решение задачи (7.19), (7.20)

дает выражение для асимптотического значения (при безразмерного интегрального диффузионного

потока на поверхность частицы:

Важно отметить, что среднее число Шервуда, вычисляемое по формуле (7.22), в данном случае остается конечным при , в отличие от его неограниченного возрастания с ростом при наличии на поверхности частицы особых гидродинамических точек (см., например, формулы (4.3), (7.7)). Физически это обусловлено тем, что область циркуляции блокирует конвективный массо- и теплоперенос к частице, и в результате перенос вещества и тепла к поверхности частицы определяется в основном молекулярной диффузией, подобно случаю неподвижной жидкости.

Отметим, что возможность построения поля концентрации в виде регулярного асимптотического разложения по степеням малого параметра связана с отсутствием критических точек на поверхности частицы. Наличие таких точек приводит к расходимости интеграла вдоль линий тока от величины которая в окрестности особых точек принимает бесконечно большие значения.

Для простого сдвига асимптотическое значение среднего числа Шервуда (7.22) было вычислено в работе [133]:

При малых угловых скоростях вращения потока из формул (7.22) с точностью до можно получить следующее двучленное разложение [163]:

Подчеркнем, что асимптотические выражения (7.23), (7.24) получены для бесконечно больших чисел Пекле, причем разложение (7.24) имеет особенность при Вместе с тем случай соответствует чисто деформационному течению, когда цилиндр остается неподвижным, независимо от того, закреплен он или нет. Поэтому при остается справедливой первая формула (7.8), которая и дает в этом случае асимптотическое выражение для среднего числа Шервуда при Сопоставление этой формулы с выражением (7.24) показывает, что результат (7.22) применим при значениях угловой скорости вращения потока, удовлетворяющих условию

Указанным выше асимптотическим выражениям (7.8), (7.23), (7.24) удовлетворяет следующая зависимость среднего числа Шервуда от числа Пекле и параметра

Эту зависимость можно рассматривать как приближенную формулу для определения среднего числа Шервуда при больших числах Пекле и всех значениях .

Как показывает сравнение с результатами [163], полученными численным интегрированием выражений (7.22) (сплошная линия на рис. 3.9), погрешность зависимости (7.25) при (показанной пунктиром) максимальна при промежуточных значениях и не превышает 10%.

Рис. 3.9. Зависимость среднего числа Шервуда от величины вращательной составляющей сдвигового потока; сплошная линия — результаты численного счета [163], штриховая линия — расчет по асимптотической формуле (7.24), пунктирная — расчет по приближенной формуле (7.25).

Согласно результатам, приведенным на рис 3.9, увеличение угловой скорости вращения потока, как и в случае закрепленного цилиндра, приводит к снижению интенсивности массообмена.

Отметим, что экспериментальная проверка [170, 171] независимости от числа Пекле главного члена асимптотического разложения среднего числа Шервуда (при для сврбодно вращающегося круг вого цилиндра в поле простого сдвига дала хорошее качественное и количественное подтверждение теоретических результатов [133]. Измеренное значение среднего числа Шервуда составило 2,65, что близко к соответствующему асимптотическому значению (7.23).

Случай При как закрепленный, так и свободно вращающийся цилиндр окружен замкнутыми

линиями тока, что следует из выражений для функции тока (7.2), (7.10). Анализ этой ситуации проводится следующим образом. Зададим сначала вместо граничного условия на бесконечности граничное условие на линии тока вдали от цилиндра

Решив диффузионную вспомогательную задачу с граничными условиями (7.26), вычисляем далее вспомогательное среднее число Шервуда Искомое среднее число Шервуда можно найти путем предельного перехода:

Для свободно вращающегося цилиндра при все линии тока замкнуты, поэтому при концентрация постоянна на каждой линии тока.

Среднее число Шервуда, соответствующее среднему потоку вещества на поверхность свободно вращающегося цилиндра, определяется формулами (7.20), (7.22). Величину вдали от цилиндра можно оценить, используя асимптотику функции тока (7.5); в результате получим [163]

Поэтому для вспомогательного среднего числа Шервуда, которое задается выражением (7.22) при имеем . Отсюда следует, что

Этот результат физически понятен и означает, что наличие в потоке только замкнутых линий тока практически полностью тормозит массоперенос к поверхности цилиндра. Более того, в этом случае распределение концентрации в потоке будет однородным, с концентрацией, равной концентрации на поверхности цилиндра (здесь уже нельзя задавать концентрацию на бесконечности произвольно).

Равенство нулю среднего числа Шервуда (7.28) проще всего пояснить, если рассмотреть предельный случай чистого вращения жидкости вокруг цилиндра, что соответствует значению в формуле (7.10). Функция тока такого течения зависит только от радиальной координаты а линии тока представляют собой соосные с цилиндром концентрические оружности. Распределение

концентрации в потоке также зависит только от радиальной координаты и удовлетворяет уравнению Лапласа общее решение которого имеет вид с где произвольные постоянные. Отсюда следует, что распределение концентрации во всем потоке ограничено только при что соответствует однородному полю концентрации

Аналогичным образом в случае закрепленного кругового цилиндра, обтекаемого стационарным линейным сдвиговым потоком (7.2) при наличие области циркуляции с замкнутыми линиями тока (что следует из асимптотики функции тока также приводит к нулевому значению среднего числа Шервуда при больших числах Пекле.