§ 2. Нестационарная диффузия к сферической капле при установившемся стоксовом обтекании и в потенциальном потоке. Приближение диффузионного пограничного слоя

Формулировка задачи. Переход к безразмерным переменным. Исследуем неустановившееся поле концентрации растворенного в жидкости вещества вне и внутри сферической капли радиуса а, движущейся с постоянной скоростью в неограниченной жидкой среде. Вдали от капли концентрация поддерживается постоянной и равной В начальный момент времени концентрация вне капли всюду однородна и равна внутри капли концентрация также однородна и равна т. е. на поверхности капли при имеется скачок концентрации.

Введем сферическую систему координат связанную с центром капли (как обычно, угол отсчитывается от направления потока на бесконечности, т. е. Соответствующая краевая задача в приближении

диффузионного пограничного слоя записывается в виде [61, 126]

Индекс 1 соответствует непрерывной фазе, 2 — дисперсной фазе.

Уравнения (2.1) и (2.2) отражают баланс растворенного вещества вне и внутри капли. Начальное условие (2.3) соответствует начальному скачку концентрации на поверхности капли. Равенства (2.4) отвечают условиям асимптотического сращивания распределений концентрации в диффузионных пограничных слоях вне и внутри капли с соответствующими невозмущенными полями концентрации вне пограничных слоев (в ядре потока, обтекающего каплю, и в ядре тороидального вихря внутри нее). Первое условие (2.5) представляет собой условие фазового равновесия на поверхности капли (закон Генри) с коэффициентом распределения а, зависящим от физических свойств жидкостей вне и внутри капли, а также от температуры; второе условие (2.5) отражает непрерывность диффузионных потоков на поверхности капли. Условия (2.6) вытекают из симметрии задачи.

Совершенно аналогична постановка задачи о теплообмене, причем концентрации заменяются температурами, коэффициенты диффузии в уравнениях (2.1), (2.2) — коэффициентами температуропроводности коэффициенты диффузии в условиях (2.5) — коэффициентами теплопроводности коэффициент а

Рассмотрим здесь два режима обтекания капли: в стоксовом приближении (решение Рыбчинского — Адамара) и в потенциальном потоке (внутри капли — вихрь Хилла), т. е. соответственно при малых и больших числах Рейнольдса. Для функции тока вблизи поверхности капли имеем:

в стоксовом приближении

где отношение динамических вязкостей капли и окружающей жидкости (газовому пузырю соответствует скорость жидкости вдали от капли;

в потенциальном потоке

Для решения каждой из задач (2.1) — (2.7) и введем безразмерные переменные и параметры

При записи (2.9) предполагается, что начальный скачок концентрации выводит систему из состояния фазового равновесия, т. е. (очевидно, что в противном случае решение задач (2.1) — (2.7) и тривиально: концентрации сохраняют свое значение во все моменты времени). В качестве характерной скорости удобно выбрать

Тогда оба выражения для функции тока (2.7), (2.8) в безразмерной форме описываются единой формулой (1.1) при

В задаче теплообмена безразмерные величины (2.9) вводятся аналогичным образом при замене концентраций температурами, на и при Кроме (2.9), понадобится еще один безразмерный параметр, характеризующий отношение коэффициентов переноса в дисперсной и непрерывной фазах. Его удобно взять в таком виде:

Теперь исходную краевую задачу массо- или теплообмена сферической капли при стоксовом или потенциальном обтекании можно записать в следующей единой безразмерной форме:

Безразмерная функция тока описывается выражениями (1.1), (2.11).

Определение полей концентрации (температуры). Для решения задачи (2.13) используем метод вспомогательных функций [126], описанный в § 1. В рассматриваемом случае и функция определяется формулой (2.11). Выбирая постоянную В в (1.6) равной для первой из функций имеем

а вторая определяется из решения системы (1.7), принимающей вид

Интегрируя левое и правое равенства, получаем общее решение системы (2.15)

где произвольная функция.

При выборе частного решения следует обратить внимание на форму окончательного выражения для поля концентрации (1.5). Имея в виду необходимость удовлетворить начальным условиям (2.3), выберем частное решение так, чтобы при величина Тогда из (2.16) получим

и после преобразований запишем функцию в виде

где

Таким образом, обе вспомогательные функции найдены, и искомые поля концентрации определяются в виде (1.5). Остается найти неизвестные постоянные в (1.5), используяначальные и краевые условия из (2.13), которые в новых переменных записываются в виде

(можно убедиться, что при т. е. условия симметрии (2.6) удовлетворяются). Получаем

Из выражений (2.19) следует, что во всех точках поверхности капли концентрация одинакова и не зависит от времени, но при переходе через поверхность терпит разрыв. Значения концентрации на наружной и внутренней сторонах поверхности капли таковы:

Эти значения удобно использовать в системе отсчета концентрации. Тогда после перехода к исходным переменным получаем выражения для полей концентрации вне и внутри капли в следующей симметричной и наглядной форме:

Аналогичными выражениями (при ) описывается поле температур. Экспоненциально затухающая функция определена формулой (2.18), параметр у — формулами (2.12).

Нетрудно обобщить решение на случай нелинейной связи между концентрациями на поверхности раздела [84] — тогда первое из условий (2.5) заменяется на следующую связь между концентрациями на обеих сторонах поверхности раздела фаз:

где заданная функция (например, для некоторых пар жидкостей лежит в пределах от 0,5 до этом случае решение в форме (2.21), (2.22) по-прежнему удовлетворяет уравнениям (2.1), (2.2) и граничным условиям (2.3), (2.4), (2.6), а условие (2.23) и второе условие (2.5) служат для определения Из второго условия (2.5) при помощи (2.21), (2.22) получим, используя (2.23), алгебраическое уравнение для определения

Таким образом, в данном случае в формулы (2.21), (2.22) следует вместо (2.20) подставить значения определяемые соотношениями (2.23), (2.24). Заметим, что последние переходят в (2.20) при

На рис. 7.1 показано изменение радиальных профилей безразмерной концентрации с течением времени при разных значениях угловой координаты. Соответствующие зависимости даны в виде

согласно формулам (2.21), (2.22), (2.18).

Как и следовало ожидать по аналогии с результатами исследования стационарного массообмена капли с потоком как с внешней, так и с внутренней стороны поверхности капли (за исключением окрестности задней критической точки) имеется четко выраженный пограничный Одой толщиной порядка Радиадьцые профили

концентрации становятся все более пологими по мере уменьшения угловой координаты, и вблизи задней критической точки, а именно, при приближение диффузионного пограничного слоя становится непригодным. Распределение концентрации в диффузионном следе (включая область задней критической точки) вне и внутри капли можно получить в результате асимптотического анализа, аналогичного детально описанному в гл. 1.

Рис. 7.1. Распределение концентрации вблизи поверхности капли в разные моменты времени (приближение диффузионного пограничного слоя).

Такой анализ будет проведен в § 3 для внутреннего следа.

Из выражения для функции (2.18) следует, что время релаксации профилей концентрации определяется значением т. е.

что было впервые отмечено в работе [61].

Необходимо подчеркнуть, что построенное решение (2.21), (2.22) справедливо (равномерно пригодно) во всей

области диффузионного пограничного слоя, включая переднюю критическую точку и ее окрестность, т. е. при всех В окрестности передней точки, как и всюду в пограничном слое, в полном соответствии с физическим смыслом с течением времени происходит постепенная эволюция нестационарного профиля концентрации, и выход его на стационарный профиль определяется временем релаксации (2.25). Ошибочность вывода автора работы [126] о мгновенном установлении профиля концентрации при обусловлена тем, что решение задачи было получено им в громоздкой и труднообозримой форме, содержащей в передней точке устранимую особенность, не замеченную автором [126]. Ошибки такого типа восходят к неправильному представлению о «необедненности потока» в передней критической точке [60], о чем уже говорилось в § 2 гл. 1.

Локальный и полный диффузионные потоки на поверхность капли. Определим безразмерный локальный поток на поверхность капли, используя, например, параметры для внешней области. Тогда, действуя аналогично случаю стационарного массообмена (гл. 1, § 5), после дифференцирования выражения (2.21) по радиальной координате получим

В несколько иной форме этот результат был впервые представлен в работе [61].

При помощи соответствующего асимптотического анализа, так же как в гл. 1, можно показать, что локальный диффузионный поток в области задней критической точки имеет порядок т. е. пренебрежимо мал по сравнению с главным членом асимптотического разложения потока в области диффузионного пограничного слоя, где, как это следует из (2.26), он имеет порядок Тогда, определяя по-прежнему среднее число Шервуда как безразмерный средний интегральный диффузионный поток на поверхность капли и интегрируя выражение (2.26), получим

Функция представляет собой отношение значений среднего числа Шервуда при нестационарном и соответствующем значению стационарном режиме, рассмотренном в гл. 1, и выражается интегралом

При малых значениях можно получить разложение

На рис. 7.2 представлена зависимость отношения от времени, полученная в результате вычисления интеграла (2.28) (согласно данным работы [126]). Штриховой линией показано разложение (2.29). Видно, что при что соответствует пятикратному времени релаксации (2.25), процесс массообмена практически выходит на стационарный режим (при нестационарное значение среднего числа Шервуда отличается от соответствующего стационарного значения не более чем на ). С другой стороны, при трехчленное разложение (2.29) дает почти точное совпадение со значением интеграла (2.28), т. е. полностью описывает нестационарный процесс.

Рис. 7.2. Отношение среднего числа Шервуда при нестационарной диффузии к среднему числу Шервуда для стационарного режима в зависимости от времени.

Отметим, что в работе [127] был предложен приближенный метод получения разложений поля концентрации при малых значениях времени, который приводит к результатам, близким к (2.29).

Первый член разложения (2.29) отвечает начальной стадии пропесса, когда можно пренебречь конвективным переносом, и соответствует известной формуле Хигби 112].