§ 6. Некоторые интерполяционные формулы для числа Шервуда при промежуточных значениях числа Пекле

Основываясь на полученных ранее асимптотических формулах для интегральных характеристик массо (тепло) обмена частицы с потоком — чисел Шервуда (Нуссельта) при больших (главы 1 - 5) и малых (глава 6) числах Пекле, можно предложить приближенные интерполяционные формулы, позволяющие с удовлетворительной для практики точностью определять среднее число Шервуда для частицы (капли) при любых значениях числа Пекле, изменяющихся в интервале

Ограничимся сначала случаем массообмена потока с частицей (каплей), реагирующей в диффузионном режиме при изотермических условиях.

Наиболее простые приближенные формулы можно получить, если взять сумму главных членов асимптотик среднего числа] Шервуда при малых и больших числах Пекле. Однако как показывает сравнение с известными численными результатами, такой способ построения интерполяционных формул дает значительную погрешность. В частности, для твердой сферической частицы, обтекаемой поступательным стоксовым потоком, соответствующая двучленная формула имеет вид

Сопоставление приближенного выражения (6.1) с численными результатами решения соответствующей краевой задачи [1, 12, 118а] показывает, что максимальная погрешность формулы (6.1) составляет более 35%.

Основная причина такого расхождения связана с тем, что асимптотика среднего числа Шервуда при дается выражением (см., например, главы 1—4), где Это, в свою очередь, приводит к тому, что двучленные аппроксимационные формулы типа (6.1) имеют бесконечную производную при В то же время точные асимптотические формулы при малых числах Пекле показывают, что соответствующая производная числа Шервуда обычно конечна: (см. выражение (1.51)). Указанные обстоятельства приводят к тому, что интерполяционные формулы типа (6.1) дают завышенные значения числа Шервуда при конечных числах Пекле

Применим здесь более точный метод построения приближенных формул, заключающийся в более полном использовании имеющейся информации об асимптотическом поведении среднего числа Шервуда. При малых числах Пекле асимптотика среднего числа Шервуда с точностью до определяется выражением

где среднее число Шервуда, соответствующее случаю неподвижной частицы (для частицы сферической формы а параметры зависят от формы частицы и типа течения. С учетом (6.2) приближенную интерполяционную зависимость среднего числа Шервуда от числа Пекле будем искать в виде следующей простой формулы [88]:

которая сохраняет тот же порядок точности при что и (6.2) (асимптотика производной выражения (6.3) при является точной). Неизвестные коэффициенты находятся путем предельного перехода в (6.3) при с учетом требования, чтобы при этом главный член асимптотики выражения (6.3) совпадал с главным членом соответствующего точного асимптотического ряда. Приведем несколько примеров.

Твердая сфера в поступательном потоке. В случае твердой сферы в поступательном стоксовом потоке из асимптотических выражений для числа Шервуда при малых и больших числах Пекле (формула (1.52) данной главы и формула (2.4) главы 3) имеем что приводит к следующей приближенной формуле для среднего числа Шервуда:

Из сравнения расчета по формуле (6.4) с результатами численного решения на ЭВМ соответствующей задачи о массообмене сферы [1, 12, 118а] следует, что максимальная погрешность выражения (6.4) во всем диапазоне изменения числа Пекле составляет 10—12%. Таким образом, точность приближенного выражения (6.4) в три раза выше точности двучленной формулы (6.1),

полученной суммированием главных членов асимптотик среднего числа Шервуда при малых и больших числах Пекле.

Капля умеренной вязкости в поступательном потоке. Для сферической капли, реагирующей в диффузионном режиме и обтекаемой поступательным стоксовым потоком, сопоставляя выражение (6.3) при с соответствующими асимптотиками, определяемыми формулой (6.7) главы 1 и формулой (1.52) данной главы, можно найти, что

а для среднего числа Шервуда получить выражение

где значение соответствует газовому пузырю.

Пригодность приближенного выражения (6.5) при промежуточных значениях чисел Пекле проверялась путем сравнения (6.5) с результатами численного решения [12, 160а] соответствующей задачи о массообмене сферической капли. Из сопоставления следует, что максимальная погрешность формулы (6.5) для случая газового пузыря составляет менее 12% и увеличивается с ростом параметра достигая 16% при

Твердая сфера в простом сдвиговом потоке. Установим значения коэффициентов в формуле (6.3) в случае реагирующей в диффузионном режиме твердой сферической частицы, свободно взвешенной в простом линейном сдвиговом потоке, поле скоростей которого в стоксовом приближении определяется формулами (2.5). С учетом асимптотик при малых (формулы (2.21), (2.14)) и при больших (формула (4.7) главы 4) числах Пекле из (6.3) для среднего числа Шервуда получаем

Твердая сфера в произвольном деформационном линейном сдвиговом потоке. В случае произвольного чисто деформационного сдвигового течения, когда поле скоростей жидкости вдали от частицы определяется выражением (2.1), в котором компоненты тензора сдвига симметричны для построения интерполяционной формулы для среднего числа Шервуда используем точную

асимптотику при малых числах Пекле (формулы (2.21), (2.47) при q = 1), а также полученные в приближении диффузионного пограничного слоя (большие числа Пекле) результаты § 3 главы 4. С учетом представления (6.3) приходим к следующему выражению:

где модифицированное число Пекле, размерные компоненты тензора сдвига.

В частном случае осесимметричного сдвигового потока в формуле (6.7) следует положить

Случай плоского сдвигового деформационного течения соответствует значению в (6.7).

Выражения (6.6), (6.7) позволяют приближенно вычислять среднее число Шервуда для реагирующей в диффузионном режиме твердой сферической частицы, обтекаемой линейными сдвиговыми течениями различного типа, всем диапазоне изменения числа Пекле литературе отсутствуют численные результаты, позволяющие оценить точность предложенных формул (6.6), (6.7). По аналогии с поступательным потоком следует ожидать, что максимальная погрешность этих приближенных выражений составляет около 10%.

Используя описанный выше метод, нетрудно получить приближенные формулы типа (6.3) для среднего числа Шервуда в случае частиц несферической формы, например, для эллипсоида вращения и плоского дискаг оси которых направлены вдоль потока. При этом следует использовать приведенные в главах 4 и 6 точные асимптотические результаты для величины справедливые при больших и малых числах Пекле соответственно.

Предложенные до сих пор интерполяционные формулы относились к случаю диффузионного режима реакции на поверхности твердых частиц, капель и пузырей. Рассмотрим теперь более общий случай гетерогенной химической реакции, скорость которой конечна и произвольным образом зависит от температуры и концентрации. Основные предположения и математическая формулировка

соответотвующей задачи о массотеплообмене реагирующей частицы с потоком приведены в § 4 данной главы.

Сопоставление результатов §§ 4, 5 главы 5 и § 4 данной главы, полученных в предельных случаях больших и малых чисел Пекле, наводит на мысль использовать алгебраическую систему (4.19), (4.20) в качестве интерполяционных уравнений для приближенного определения средних чисел Шервуда и Нуссельта во всем диапазоне чисел Пекле при наличии в потоке не слишком большого числа реагентов и простой кинетике реакций. При этом в качестве параметров входящих в систему (4.19), (4.20), следует использовать значения для средних чисел Шервуда и Нуссельта, полученных из решения вспомогательной линейной и существенно более простой задачи, соответствующей диффузионному режиму реакции на поверхности сферы (теплообмену частицы при фиксированной температуре ее поверхности).

В настоящее время известно достаточно большое число решений указанной вспомогательной задачи, полученных численными, аналитическими или приближенными методами для разных случаев обтекания. В частности, для приближенного определения вспомогательных параметров и могут быть использованы формулы (6.4) — (6.8), где следует положить .

Для изотермической реакции порядка проверка пригодности интерполяционного уравнения (4.22) при больших числах Пекле проводилась во всем диапазоне изменения параметра путем сравнения его корня с полученными в приближении диффузионного пограничного слоя результатами главы 5 в случае поступательного стоксова обтекания твердой сферической частицы, капли (пузыря) и кругового цилиндра. Из указанного сопоставления следует, что максимальная погрешность приближенного уравнения для среднего числа Шервуда (4.22) наблюдается при и составляет около 10%.

Пригодность приближенного уравнения (4.19) при промежуточных значениях чисел Пекле и Рейнольдса в случае поступательного обтекания сферы проверялась

путем сравнения с известными результатами численного решения соответствующей "задачи" для реакции первого порядка на поверхности сферы при Из таблицы 13, приведенной в книге [12], следует, что использование уравнения (4.19) приводит к хорошим результатам (ошибка не превосходит

Напомним, что при малых числах Пекле система (4.19), (4.20) является асимптотически точной (в том смысле, что правильно дает несколько старших членов соответствующего асимптотического разложения) для любой кинетики гетерогенной химической реакции в случае произвольного обтекания твердой или жидкой сферической частицы.

В работах [47, 164] предлагалась модификация уравнения (4.22), которую можно использовать для приближенного расчета интенсивности массопереноса к реагирующим частицам произвольной формы.