§ 2. Интегральные уравнения для поверхностной концентрации и локального диффузионного потока. Примеры точных решений

Вместо уравнения (1.12) для ядра интегрального оператора (1.10) более удобно рассматривать непосредственно уравнения для поверхностной концентрации и локального диффузионного цотока — величин, имеющих ясный физический смысл.

В силу (1.0) и (1.10) поверхностная концентрация определяется выражением

Действуя оператором на оба члена уравнения (1.12) и используя равенство (2.1), получаем уравнение для нахождения поверхностной концентрации:

Действуя оператором на обе части этого уравнения, приходим к следующему эквивалентному интегральному уравнению:

Здесь локальный диффузионный поток, соответствующий чисто диффузионному режиму реакции (т. е. граничному условию на поверхности частицы

Следует отметить, что формула (2.4) была выведена ранее в § 1 гл. 4.

Функция входящая в уравнение (2.3), определяется путем подстановки в формулу (2.4) зависимости которая находится обращением выражения (1.6) для переменной т. е.

Из уравнений (2.2) — (2.4) видно, что в случае реакции порядка х характерным параметром задачи (1.2) — (1.5) является комплекс к значение которого полностью определяет степень превращения на поверхности а следовательно, и поверхностную концентрацию.

В силу равенства

из уравнения (2.2) получаем связь между поверхностной

концентрацией и локальным диффузионным потоком:

При выводе этого соотношения использовалось тождество

Подстановка равенства (2.6) в правую часть выражения (2.5) приводит к интегральному уравнению для локального диффузионного потока на поверхность частицы:

При имеем Поэтому из уравнения (2.7) следует, что в главном приближении по малому параметру локальный диффузионный поток и поверхностная концентрация постоянны на всей поверхности частицы (явление «насыщения»):

Эти равенства для реакции порядка х означают, что при к режим протекания реакции на всей поверхности частицы (за исключением малой окрестности точки стекания) близок к кинетическому. Последнее объясняется тем, что при увеличении числа Пекле диффузионный поток может увеличиваться лишь до тех пор, пока лимитирующей стадией процесса массопереноса не становится поверхностная реакция.

Легко показать, что если предельный локальный диффузионный поток постоянен на части поверхности тела:

то решение нелинейного интегрального уравнения (2.7) сводится к решению алгебраического (или трансцендентного) уравнения

В силу (2.4), (2.10) поверхностная концентрация в случае (2.9) также определяется путем решения алгебраического уравнения

Из уравнений (2.10), (2.11) видно, что если предельный диффузионный поток постоянен на части поверхности

тела (2.9), то в этой же области будут постоянными поверхностная концентрация и локальный поток при любой кинетике поверхностной химической реакции во всем диапазоне изменения константы скорости реакции k.

Приведем теперь два примера точного решения задачи конвективной диффузии при произвольных условиях поглощения (1.2) — (1.4).

1°. Рассмотрим двумерное растекание по плоскости нормально натекающего из бесконечности потока идеальной жидкости; координата отсчитывается от критической точки. Размерная функция тока в этом случае имеет вид

где оси и направлены соответственно вдоль и поперек набегающего потока.

Задача о диффузии к поверхности имеет не зависящее точное решение (более того, оно является также точным решением полной задачи в непогранслойной постановке). Хотя эта задача и не имеет характерного линейного масштаба, тем не менее можно воспользоваться уравнением (2.10), где сначала формально следует положить

(а — произвольная величина размерности длины), затем сделать замену по формуле и решать далее полученное модифицированное уравнение (которое уже не зависит от параметра а) относительно размерного диффузионного потока

2°. Рассмотрим конвективную диффузию к поверхности плоского диска, вращающегося с постоянной скоростью В этом случае распределение концентрации (в пренебрежении концевыми эффектами) не зависит от радиальной и угловой координат и будет функцией только расстояния от поверхности диска [60]. В безразмерных переменных соответствующая задача формально сводится к уравнению (1.2) с граничными условиями (1.3), (1.4), где

( коэффициент кинематической вязкости жидкости).

Предельный диффузионный поток (2.9), входящий в уравнение (2.10) и соответствующий задаче (1.2) - (1.4), (2.14), определяется формулой [60, 104]

Поверхностная концентрация и локальный диффузионный поток в точке зарождения диффузионного пограничного слоя на поверхности частицы определяются путем решения алгебраических (или трансцендентных) уравнений

которые являются следствием интегральных уравнений (2.2), (2.7) в пределе при

Из уравнения (2.16) видно, что поток приходит необедненным в точку зарождения диффузионного пограничного слоя только в том случае, если (здесь считается, что в противном случае тривиальное решение является точным решением исходной задачи (1.2) - (1.4)).

Из формулы для предельного локального диффузионного потока (2.4) видно, что равенство будет выполняться, например, в тех случаях, когда справедливо неравенство Последнее имеет место в случаях, когда

1) значение не соответствует передней критической точке поверхности тела (например, пластина или сфера с лакированным включением в окрестности передней критической точки натекания в этом случае выполняется неравенство

2) значение соответствует геометрической сингулярности поверхности тела в точке натекания; при этом выполняется равенство (например, в случае обтекания плоской пластинки поступательным потоком вязкой несжимаемой жидкости при больших числах Пекле (решение Блазиуса)). Главный член разложения функции тока вблизи поверхности пластинки в этом случае определяется формулой (1.4) при [60].

Следует особо подчеркнуть, что в тех случаях, когда предельный локальный диффузионный поток обращается

в бесконечность в точке зарождения диффузионного пограничного слоя, само приближение диффузионного пограничного слоя (1.2) — (1.4) в окрестности как правило (см. далее § 3), оказывается некорректным, а соответствующее решение в этой же области не является равномерно пригодным по малому параметру Это приводит к необходимости в области рассматривать содержащее член полное уравнение конвективной диффузии, решение которого необходимо для корректной формулировки граничного условия «натекания» для погранслойной задачи (1.2) — (1.4).

Первая и третья главы книги были посвящены изучению массопереноса к движущейся в жидкости твердой сферической частице и капле для диффузионного режима поверхностной реакции (что соответствует предельному переходу при при этом предельный локальный диффузионный поток в передней критической точке натекания принимал конечные значения.

Можно показать, что в общем случае частиц гладкой формы, когда значение соответствует критической точке натекания на поверхности частицы предельный локальный диффузионный поток (1.4) при принимает конечные значения Некоторые характерные случаи такого рода, имеющие практическое значение, будут рассмотрены далее в §§ 4, 5.

Аналогично [166] (см. также гл. 1 и 3) можно показать, что приближение диффузионного пограничного слоя (1.2) — (1.4) оказывается равномерно пригодным (по малому параметру в окрестности передней критической точки натекания для частицы гладкой формы.

В общем случае при немонотонной функции уравнение (2.16) может, вообще говоря, иметь несколько различных корней на интервале [0, 1]. Эти корни будут определять несколько режимов химической реакции на поверхности частицы. Далее для простоты считается, что уравнение (2.16) при любом к имеет единственный корень

Из уравнений (2.16), (2.17) следует, что диффузионный поток в окрестности передней критической точки в случае реакции порядка х растет с увеличением безразмерной константы скорости реакции к и уменьшается при увеличении порядка реакции х (предполагается, что

В частном случае реакции первого порядка имеем

Следовательно, и кинетический режим в окрестности передней критической точки в общем случае отсутствует. Отметим, что в случае конвективной диффузии к плоской пластине [60, 104, 113, 125] окрестность передней критической точки всегда является областью кинетического режима поверхностной реакции. Для твердой частицы гладкой формы кинетический режим в области передней критической точки существует только при к

Из уравнения (2.3) следует, что в области задней критической точки стекания локальный диффузионный поток для любой кинетики поверхностной химической реакции равен нулю. Можно показать, что, как и в случае диффузионного режима реакции на поверхности частицы, в этой области само приближение диффузионного пограничного слоя теряет пригодность.