§ 4. Сфера в поступательно-сдвиговом потоке и потоке с параболическим профилем скорости

Поступательно-сдвиговый поток. В качестве обобщения результатов §§ 1—3 рассмотрим задачу о диффузии вещества к поверхности сферы, находящейся в однородном поступательно-сдвиговом потоке [40], поле скоростей которого на больших расстояниях от сферы дается формулой (6.12) гл. 1. В стоксовом приближении функция тока определяется суммой выражений (1.3) и (3.1) и вблизи поверхности сферы записывается в следующей безразмерной форме (масштабами длины и скорости служат радиус частицы и скорость потока на бесконечности):

Здесь

— характерный параметр, позволяющий выделить четыре качественно различных типа обтекания твердой сферы; он отличается от аналогичного параметра для капли лишь числовым множителем.

Каждый из возможных типов течения реализуется, как и в случае капли, при выполнении соответствующих соотношений а) — г), приведенных в § 6 гл. 1; линии тока для каждого из них схематически показаны на рис. 1.5.

Решая задачу о массообмене сферы с потоком при больших числах Пекле: в предположении о полном поглощении вещества поверхностью сферы, можно получить следующие выражения для главного члена разложения локального потока вещества на поверхность частицы в указанных выше случаях. Случай а) :

где функция определена формулой (2.6).

Случай б) . Распределение диффузионного потока по поверхности сферы имеет различный вид на лобовой и кормовой ( частях сферы. Используя соотношение

получаем

где

Случай в)

Случай г) Для распределения локального диффузионного потока на лобовой и кормовой частях сферы справедливы соотношения

Используя формулы для среднего числа Шервуда получаем следующие выражения:

где

( полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно).

Зависимость величины от представлена на рис. 3.4.

Полученные результаты свидетельствуют о существенном влиянии градиентов скорости на массообмен сферы с потоком. В частном случае формулы (4.6) переходят в соответствующее выражение для

поступательного потока, определяемое первым членом разложения (2.4), а при соответствуют формуле (3.8) для сферы в однородном сдвиговом потоке.

Интересно отметить, что поле скоростей жидкости вблизи поверхности непроводящей сферы при обтекании ее вязкой несжимаемой электропроводной жидкостью, через которую проходит электрический ток, можно интерпретировать как поле обтекания сферы поступательно-сдвиговым потоком, для которого параметр определяется плотностью электрического тока на бесконечности. Задача о диффузии к сфере в этом случае [4] полностью аналогична рассмотренной выше.

Рис. 3.4. Завдсимость среднего числа Шервуда от значения параметра

Сфера в потоке с параболическим профилем скоростей [30]. Рассмотрим еще один характерный пример массообмена частицы с потоком — диффузию к поверхности сферы в случае, когда поле скоростей вдали от нее имеет вогнутый параболический профиль, ось симметрии которого проходит через центр сферы. В связанной с центром сферы декартовой системе координат х, у, z, у которой ось направлена по оси потока, для распределения скорости на больших расстояниях от частицы имеем

где параметр характеризует кривизну профиля на оси симметрии, орт оси Поле течения в этом случае служит первым приближением в методе «зеркальных отражений» [107] для частицы, движущейся по оси течения Пуазейля, причем скорость частицы совпадает со скоростью жидкости на оси.

Для поля течения воспользуемся полученными в стоксовом приближении результатами [129, 182], которые приводят к следующему выражению для функции тока.

Вблизи сферы получим

Формулы (4.8), (4.9) записаны в безразмерном виде в сферической системе координат, связанной с центром сферы, где полярный угол отсчитывается от оси потока, как показано на рис. 3.5, а за характерные масштабы длины и скорости выбраны радиус сферы а и характерная скорость соответственно.

Рис. 3.5. Схема обтекания частицы в случае параболического профиля скоростей натекающего потока.

Из выражения (4.9) видно, что траекториями натекания в этом случае являются луч и образующие конуса а траекториями стекания — образующие конуса и луч причем

В предельном случае больших чисел Пекле решение задачи о распределении концентрации у поверхности частицы может быть найдено так же, как и решения рассмотренных выше задач, путем выделения зон с различным асимптотическим поведением решений и построения приближенного решения в виде совокупности решений в каждой из зон. Наиболее важной для расчета интенсивности массообмена здесь также является область диффузионного пограничного слоя.

Следуя изложенному в гл. 1 методу, можно показать, что распределение концентрации в диффузионном пограничном слое в этом случае будет определяться формулой (1.16), в которой переменные следует задать

следующим образом:

В качестве нижнего предела в интеграле. (4.11) в области выбирается значение а в области величина

Используя формулы (1.16), (4.11), получим выражение для полного диффузионного потока реагирующего вещества на поверхность сферы, обтекаемой стоксовым потоком с параболическим профилем скоростей на бесконечности:

где

(К и полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно).

Из (4.12) для среднего числа Шервуда найдем

Отметим, что такой же суммарный приток вещества к поверхности сферы, находящейся в поле чисто деформационного течения, будет при