§ 4. Массоперенос к сферической частице, свободно взвешенной в простом сдвиговом потоке

Исследуем теперь массообмен частицы, которая окружена областью течеция с полностью замкнутыми линиями тока. В этом случае на поверхности частицы отсутствуют особые гидродинамические точки (или линии) торможения потока. Рассматриваемая ситуация качественно аналогична диффузии к круговому цилиндру, свободно вращающемуся в простом сдвиговом потоке (см. § 7 гл. 3), и характерна тем, что здесь при больших числах Пекле не происходит формирования диффузионного пограничного слоя вблизи поверхности частицы.

Распределение концентрации в области с замкнутыми линиями тока представляется в виде регулярного разложения по обратным степеням числа Пекле:

Подстановка этого ряда в уравнение конвективной диффузии с последующим выделением членов при одинаковых степенях малого параметра показывает, что главный член разложения удовлетворяет уравнению

Поэтому концентрация принимает постоянные значения на линиях тока. Однако этой информации оказывается недостаточно для определения Выписывая уравнение для следующего члена разложения и интегрируя его далее по замкнутым линиям тока (см. § 7 гл. 3), можно вывести уравнение эллиптического типа для функции В общем трехмерном случае решение соответствующей краевой задачи для определения главного члена разложения концентрации нельзя представить в явном аналитическом виде (при необходимости следует использовать численные методы). Тем не менее с учетом структуры разложения концентрации с и отмеченных выше свойств функции можно сделать очень Еажный качественный вывод: в тех случаях, когда частица (капля) окружена областью течения с замкнутыми линиями тока, среднее число Шервуда при стремится к некоторому конечному постоянному значению, т. е. выполняется равенство

Это предельное свойство среднего числа Шервуда коренным образом отличается от соответствующего поведения величины при наличии особых гидродинамических точек, когда среднее число Шервуда неограниченно возрастает при увеличении числа Пекле (ср. формулы (1.12) и (4.1)).

Пусть твердая сферическая частица свободно вращается в простом сдвиговом потоке, распределение скоростей которого на бесконечности имеет вид

На поверхности частицы требуется выполнение равенства нулю момента вязких сил трения. В стоксовом приближении решение соответствующей гидродинамической задачи об обтекании сферы получено в работе [130], где было, в частности, показано, что линии тока такого течения образуются путем пересечения следующих двух однопараметрических семейств поверхностей:

где параметры, а монотонно убывающие функции обладающие такими свойствами: вблизи поверхности сферы

на бесконечности (при )

Распределение скоростей жидкости такого течения дается формулой (2.5) гл. 6.

Из выражений видно, что все линии тока разомкнуты при и замкнуты при . Значение соответствует поверхности сферы, а величина определяет состоящую из линий тока трехмерную предельную поверхность, которая разграничивает области с замкнутыми и разомкнутыми линиями тока. В области с замкнутыми линиями тока параметр В изменяется в пределах от до где при

Как уже отмечалось ранее, концентрация вдоль каждой замкнутой линии тока стремится к постоянной величине при Так как параметры фиксированы на каждой линии тока, то главный член асимптотического разложения концентрации является функцией только этих параметров, т. е. Учитывая формулы (4.3), сферические координаты и следует выразить через Записывая далее уравнение для следующего члена разложения и интегрируя его после умножения на по отрезку можно вывести уравнение и граничные условия для старшего члена разложения:

(здесь коэффициенты зависят только от ).

Наличие дополнительного перекрестного члена в уравнении (4.6) обусловлено использованием в данном случае неортогональной системы координат, для которой

Коэффициенты в (4.6) были выписаны в работе [111] в виде нескольких первых членов разложения по нормированным величинам вблизи поверхности частицы (при После этого решение задачи (4.6) отыскивалось в виде соответствующего степенного ряда подстановка которого в уравнение (4.6) позволила йайти зависимость (второй коэффициент разложения не определялся). В результате для среднего числа Шервуда было получено значение

Массообмен сферы, свободно взвешенной в произвольном плоском сдвиговом течении, рассматривался в работе [163]. Было показано, что увеличение угловой скорости вращения потока приводит к снижению интенсивности массопереноса к сфере.