Глава 7. НЕСТАЦИОНАРНЫЙ МАССОТЕПЛООБМЕН КАПЕЛЬ, ПУЗЫРЕЙ И ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ С ПОТОКОМ

Неустановившиеся, переходные режимы конвективного массо- и теплообмена частиц дисперсной фазы с окружающей их жидкостью или газом, а также нестационарные процессы конвективного переноса вещества и тепловой энергии внутри движущихся капель играют важную роль в ряде промышленных процессов. Нестационарность процессов переноса может быть обусловлена как неустановившимся полем скоростей, так и неустановившимся режимом поглощения (выделения) вещества или тепла в объеме дисперсной или сплошной фазы либо на межфазной поверхности.

На практике все эти факторы могут проявляться в любых комбинациях как следствие неустойчивости или переходного характера течения среды либо хода физико-химических процессов, а также в результате движения межфазной поверхности, вызванного массотеплообменом; они могут быть и следствием искусственных периодических воздействий на систему. Примерами могут служить нестационарность массотеплопереноса на начальной и конечной стадиях процесса (являющаяся одной из причин так называемого концевого эффекта), изменение объема дисперсной фазы, вызванное ростом или растворением капель и пузырей, наложение пульсаций на поток жидкости. Важно подчеркнуть также, что процесс массопереноса внутри капли даже при стационарных внешних условиях обычно оказывается существенно нестационарным.

Ниже будут рассмотрены процессы как внешнего, так и внутреннего нестационарного массо- и теплообмена капель (§§ 1-4), а также внешнего нестационарного массо- и теплообмена пузырей и твердых частиц (§§ 5—7) при больших числах Пекле. Нестационарный массо- и теплоперенос при малых числах Пекле будет рассмотрен в § 8.

§ 1. Постановка задачи о массо- и теплопереносе к каплям и пузырям. Метод решения нестационарных двумерных задач диффузионного (теплового) пограничного слоя при помощи вспомогательных переменных

Рассматривается нестационарный процесс массообмена капли (или пузыря) с потоком несжимаемой жидкости при больших числах Пекле. Поле течения, в общем случае нестационарное, предполагается известным, задача считается двумерной (плоской или осесимметричной). Вдали от капли задана концентрация растворенного компонента, а также ее распределение вне и внутри капли в начальный момент времени. Массоперенос может при этом лимитироваться сопротивлением непрерывной или дисперсной фазы либо проходить в условиях, когда эти сопротивления соизмеримы.

Как обычно (см., например, гл. 2), введем ортогональную криволинейную систему безразмерных координат связанную с каплей. Координата отсчитывается по внешней нормали к поверхности капли, определяемой уравнением причем для области вне капли внутри капли координата отсчитывается вдоль поверхности по направлению потока. Безразмерную функцию тока при нестационарном обтекании можно вблизи поверхности капли представить в виде

где безразмерное время; в качестве масштаба времени служит отношение характерного размера капли и характерной скорости потока. Отметим, что, несмотря на различный вид функции тока в областях вне и внутри капли, функция универсальна для обеих областей в силу условия непрерывности скорости жидкости при переходе через поверхность раздела фаз.

В приближении диффузионного пограничного слоя вне или внутри капли безразмерное уравнение нестационарной диффузии с учетом конвективного переноса запишем в виде

где - компоненты метрического тензора.

Постановка задачи завершается формулировкой соответствующих начальных и граничных условий, которые пока конкретизировать не будем.

Решение краевых задач теории нестационарного диффузионного пограничного слоя на внешней или внутренней поверхностях капли в принципе может быть получено разными методами. Так, для определения диффузионного потока к поверхности капли в установившемся стоксовом потоке при внезапном включении реакции в [61] было использовано преобразование Лапласа по времени. Анализ конвективной теплопередачи к криволинейной стенке при потенциальном обтекании проводился в [183] при помощи синус-преобразования Фурье по поперечной координате. Однако наиболее удобным и быстро ведущим к цели является метод введения вспомогательных функций координат и времени в качестве новых переменных. Эти функции выбираются таким образом, чтобы удовлетворялись определенные дифференциальные соотношения. В результате для отыскания зависимости искомого поля концентрации или температуры от вспомогательных функций получаем более простое, по сравнению с исходным, дифференциальное уравнение. Очевидно, что в каждой конкретной задаче число этих функций и сами они могут выбираться по-разному — важно лишь, чтобы как промежуточные дифференциальные соотношения, так и итоговое уравнение для искомой функции имели достаточно простую структуру.

По-видимому, впервые последовательное применение этого подхода для решения задач нестационарного конвективного массо- и теплообмена капли при стационарном обтекании дано в работе [126], хотя в несколько более ранних работах [172, 173, 175] уже вводилась вспомогательная функция по аналогии с автомодельной переменной, вводимой в стационарных задачах. В дальнейшем метод, аналогичный предложенному в [126], использовался в работах [174, 177].

Очевидным образом обобщая метод работы [126] на случай произвольной осесимметричной формы капли и нестационарного обтекания [42, 43], введем функции где

Рассматривая как новые независимые переменные, подставим в уравнение (1.2) с условием (1.1) и подчиним функции

следующим дифференциальным соотношениям:

Тогда уравнение (1.2) в новых переменных приводится к стандартному уравнению теплопроводности

причем в рассматриваемых задачах, как правило, достаточно использовать его автомодельное решение

где постоянные, определяемые из начальных и граничных условий, причем в силу соотношений (1.3) постоянная имеет смысл безразмерной концентрации на поверхности раздела.

Что касается вспомогательных функций то для их определения необходимо последовательно, решить дифференциальные уравнения первого порядка (1.4). Решение этих уравнений проще всего можно получить методом характеристик, определяя возникающие произвольные константы и функции наиболее удобным образом в каждом конкретном случае и в соответствии с начальными и граничными условиями задачи.

Отметим, что функцию можно выбрать не зависящей от времени в широком классе задач стационарного обтекания капель, а также в ряде задач нестационарного обтекания при условии, что функция представима в виде произведения (это условие выполняется, например, для поступательного или сдвигового потока, в том числе неустановившегося). Тогда из первого уравнения (1.4) получаем простое выражение

где В — произвольная постоянная, выбор которой несуществен и обычно диктуется соображениями удобства интегрирования второго уравнения (1.4).

Вспоминая представление для функции тока (1.1), можно заметить, что для задач указанного класса вспомогательная функция согласно (1.3) и (1.6) совпадает с

главной частью выражения для функции тока с точностью до множителя, не зависящего от координат. Таким образом, в этом случае непосредственный аналог переменной Мизеса. Второе уравнение (1.4) эквивалентно системе уравнений в полных дифференциалах, которая в рассматриваемом случае принимает вид

и легко интегрируется.

Необходимо подчеркнуть, что описанный метод дает возможность построить решения уравнений (1.1), (1.2) вида с в том числе и некоторые неавтомодельные решения. Если же с самого начала ограничиться отысканием автомодельных решений, то достаточно ввести [172, 173, 175] лишь первую из вспомогательных функций (1.3), причем построение новой функции окажется равносильным построению комбинации из старых функций. Таким образом, для автомодельных задач методы [172, 173, 175] и [126, 174, 177] по существу идентичны.

Некоторые обобщения [77, 78, 90,165а]. При решении некоторых задач нестационарного пограничного слоя использование двух новых переменных (1.3), (1.4) может оказаться недостаточным, и для построения поля концентрации необходимо дополнительно к (1.3) ввести третью (циклическ переменную

удовлетворяющую уравнению

Уравнение (1.2) после замен (1.3), (1.4), (1.8), (1.9) принимает вид приведенного выше стандартного уравнения теплопроводности, которое не содержит в явном виде циклическую координату При этом искомая функция зависит уже от трех переменных

Зависимость новых переменных от исходных координат и времени получается в результате решения системы уравнений в частных производных первого

порядка (1.4), (1.9) и имеет вид

Запись вида в подынтегральных выражениях означает, что функция при помощи зависимости записана в переменных со и (при интегрировании со рассматривается как параметр), произвольная постоянная, любое нетривиальное решение характеристического обыкновенного дифференциального уравнения

соответствующего уравнению для (1.9); произвольные функции аргумента которые выбираются по-разному в зависимости от начальных и граничных условий.

Нестационарный массообмен в случае объемной химической реакции первого порядка. Отметим, что результаты решения нестационарных задач конвективного массопереноса к каплям, пузырям и твердым частицам могут быть использованы для исследования более сложных нестационарных задач, соответствующих протеканию в жидкости объемной химической реакции первого порядка. Действительно, рассмотрим уравнение

с начальными и граничными условиями

где вектор скорости жидкости, соответствующий стационарному полю течения.

Нетрудно убедиться, что решение задачи (1.13), (1.14) может быть представлено в виде [131]

где вспомогательная функция с удовлетворяет уравнению (1.13) при и условиям (1.14).

Из формулы (1.15) следует, что среднее число Шервуда соответствующее решению задачи (1.13), (1.14) при может быть выражено через вспомогательное число Шервуда для диффузии без химической реакции (при

Следует подчеркнуть, что зависимости (1.15), (1.16) носят общий характер и справедливы во всем диапазоне изменения числа Пекле и константы скорости объемной химической реакции

Переходя в формулах (1.15) и (1.16) к пределу при можно получить связь между решением нестационарной задачи без химической реакции (1.13), (1.14) (при и решением соответствующей стационарной задачи с химической. реакцией.

Опираясь на описанный выше метод, рассмотрим далее решения основных задач внутреннего и внешнего нестационарного массообмена капель. и пузырей с потоком жидкости.