§ 4. Асимптотическое разложение поля концентрации по числу Пекле. Учет сил инерции

Поле концентрации, полученное в §§ 1—3, является, по существу, нулевым приближением решения задачи (1.1) — (1.3) в виде асимптотического ряда

Функции как и деформированные координаты, являющиеся аргументами функций вообще говоря, свои для каждой области.

Определим теперь следующие члены этого ряда. Одновременно сделаем еще одно обобщение, существенное для приложений. А именно, найдем поле концентрации вокруг поглощающей капли, приняв во внимание в первом приближении по числу Рейнольдса инерционные эффекты при ее обтекании. С этой целью для поля скоростей используем результаты, полученные методом сращиваемых асимптотических разложений по малому числу Рейнольдса Вместо нулевого члена разложения функции тока по полученного Рыбчинским и Адамаром, возьмем в качестве выражения для функции тока двучленное разложение

(нулевым приближением для функции тока служит функция использованная в §§ 1—3, число Вебера считается достаточно малым).

Разбиение всего поля концентрации на области, указанные в § 1, здесь сохраняется в том же виде, при той же вспомогательной функции

Во внешней области, как и ранее, имеем для концентрации значение, равное значению в набегающем потоке, т. е.

В диффузионном пограничном слое будем, как и прежде, искать решение в переменных У, 0, представив функцию тока (4.1) в виде ряда

Для того чтобы свести исходную задачу к последовательному решению уравнений типа уравнения теплопроводности, введем новые переменные

где а функция задается неявно второй формулой (4.4). Отметим, что при переменные совпадают с соответствующими переменными, введенными формулами (2.5) и (2.8).

Решение уравнения (1.1) с функцией тока (4.3) в диффузионном погранслое ищем в виде

Очевидно, нулевой член ряда (4.5) при соответствует решению в области диффузионного погранслоя, полученному в § 1.

Переходя к переменным (4.4), из (1.1), (1.2), (4.3) после подстановки (4.5) с учетом (4.2) можно, приравняв нулю коэффициенты при получить следующие уравнения и граничные условия для последовательного определения членов ряда (4.5):

Первое граничное условие (при есть условие поглощения, соответствующее первому условию в (1.3), второе (при ) и третье (при ) получены так же, как в § 2, из условий сращивания решений в области диффузионного пограничного слоя и во внешней области.

Выражения для первых двух функций имеют вид [41]

Решение задачи (4.6), (4.7) имеет вид

Распределение концентрации в областях диффузионного следа может быть получено

методом, аналогичным использованному в §§ 3, 4. В каждой Из этих областей оно ищется в виде асимптотического ряда, приведенного в начале этого параграфа. Уравнения и граничные условия для каждого члена соответствующих разложений получаются аналогично тому, как это делалось для диффузионного пограничного слоя. При этом соответствующие однородные уравнения для каждого члена разложения в исследуемой области будут совпадать с уравнением для нулевого приближения; правая часть уравнения будет зависеть от всех предыдущих членов данного разложения.

Приведем в нулевом приближении по окончательные выражения для распределения концентрации в области диффузионного погранслоя и в областях , когда функция тока имеет вид (4.1):

Функция тока переменная и коэффициенты определены в (4.1), (4.3), а зависимость дается второй формулой (4.4). Выражения (4.9) совпадают при с полученными ранее в § 3.