§ 5. Массоперенос к поверхности реагирующей частицы произвольной формы

Рассмотрим установившуюся диффузию реагента в потоке вязкой несжимаемой жидкости, обтекающем твердую частицу или жидкую каплю произвольной формы при протекании на ее поверхности химической реакции первого порядка. Задача о расчете интенсивности массообмена частицы с потоком, как и прежде, сводится к решению уравнения конвективной диффузии с граничными условиями на бесконечности и на поверхности частицы:

Здесь а — характерный размер частицы, производная по нормали к поверхности частицы уравнение поверхности частицы в сферической системе координат Остальные обозначения прежние.

В случае частицы несимметричной формы дифференциальные операторы Лапласа и Гамильтона в задаче (5.1), а также распределения скорости и концентрации 2 зависят от трех пространственных координат. Переход от сферы к частице другой формы приводит к значительному усложнению задачи, связанному в первую очередь с более сложным видом поля течения. Для некоторых частных случаев формы частиц (например, эллипсоидальных) могут быть определены в замкнутом аналитическом виде как поле обтекания (в стоксовом приближении), так и выражение для распределения концентрации, позволяющие найти локальный и интегральный потоки реагента на поверхность частицы. Соответствующий анализ будет отличаться от проведенного в § 1 большей громоздкостью выкладок из-за необходимости выбора более сложных

специальных ортогональных систем координат, связанных с поверхностью частицы. В приложениях при расчете массообмена часто нет необходимости в детальном исследовании распределения концентрации в окрестности частицы и локального потока реагента на ее поверхность, В большинстве случаев достаточно знания интегральной интенсивности диффузионного потока реагента на поверхность частицы. Анализ показывает, что для медленно движущихся частиц произвольной формы в задаче (5.1) оказывается возможным получить приближенную формулу для среднего числа Шервуда которое выражается через число Пекле и вспомогательное число Шервуда соответствующее массопереносу к неподвижной частице [36, 112, 119].

Возможность получения этой формулы основывается на том, что в случае поверхностной химической реакции величина суммарного притока реагента к частице сохраняет постоянное значение на любой поверхности, охватывающей частицу, например, на сфере большого радиуса. Поэтому для приближенного расчета интегрального массообмена реагирующей частицы произвольной формы с окружающей средой можно воспользоваться знанием асимптотического поведения распределения концентрации на больших расстояниях от частицы, которое в случае медленного движения частицы может быть выражено через более простую интегральную характеристику реагирующей частицы —

Поступательный поток. В случае стоксова обтекания капли или твердой частицы произвольной формы поступательным потоком распределение скоростей вдали от нее определяется выражением [120]

Здесь единичный вектор, направленный вдоль скорости потока на бесконечности, безразмерный вектор, равный отношению силы сопротивления данной частицы к величине стоксовой силы сопротивления твердой сферы радиуса — динамический коэффициент вязкости жидкости.

На поверхности твердой или жидкой частицы нормальная составляющая скорости жидкости равна нулю (условие непротекания)

где орт нормали к поверхности частицы; здесь и далее для сокращения записи аргументы и функции опускаются.

Скорость потока удовлетворяет также условию несжимаемости жидкости:

Цель этого параграфа заключается в вычислении среднего числа Шервуда

Здесь и далее для сокращения записи круглые скобки у скалярного произведения векторов (в подынтегральных выражениях) опускаются.

Ниже будет показано, что сведений о поле скоростей (5.2) — (5.4) достаточно, чтобы для задачи (5.1) — (5.4) выразить с определенной точностью число Шервуда через число Пекле и число Шервуда соответствующее массообмену реагирующей частицы с неподвижной средой.

Приближенное асимптотическое решение задачи будем искать методом сращиваемых асимптотических разложений по числу Пекле во внутренней и внешней областях течения.

Внутреннее и внешнее разложения соответственно имеют вид

Члены внутреннего разложения должны последовательно определяться, как и прежде, из уравнения (5.1) с граничным условием на поверхности частицы. Уравнение и граничное условие на бесконечности для членов внешнего разложения представляются в форме

где операторы Лапласа и Гамильтона, записанные с использованием переменной

Возникающие при решении задачи неизвестные постоянные определяются последовательным сращиванием разложений (5.6) и (5.7).

Нулевые и первые члены асимптотических разложений. Найдем нулевое приближение для внутреннего разложения функции Из (5.1) и (5.6) при для определения получаем следующее уравнение и граничное условие:

Кроме того, функция должна удовлетворять условию сращивания с нулевым членом внешнего разложения, равным т. е. обращаться в нуль на бесконечности.

Следует подчеркнуть, что здесь и далее при решении задач для функций находятся не точные решения, строго удовлетворяющие всем условиям соответствующей задачи, а приближенные асимптотические решения, не дающие детального описания распределения концентрации реагента около частицы, но достаточные для расчета интегрального Диффузионного притока реагента к частице.

Как следует из теории потенциала (см., например, [103]), выбирая надлежащим образом точку отсчета радиуса-вектора (начало координат), выражение для (как для гармонической функции, стремящейся к нулю при можно записать в виде, не содержащем членов

где постоянная, которая будет определена позднее. При этом в фактическом определении соответствующей точки отсчета радиуса-вектора нет необходимости, важно лишь, что такая точка существует.

Решение (5.10) имеет простой физический смысл: оно описывает распределение концентрации на больших расстояниях от покоящейся в неподвижной среде частицы, на поверхности которой протекает химическая реакция (сток реагента). При этом постоянная равна числу Шервуда для покоящейся частицы в неподвижной среде:

Действительно, учитывая отсутствие источников концентрации в объеме, ограниченном поверхностью частицы и поверхностью содержащей частицу сферы (радиус которой может быть сделан сколь угодно большим), и используя соотношение получим, что при определении числа Шервуда интегрирование в (5.5) можно проводить по поверхности Подстановка в (5.5) выражения (5.10) после предельного перехода при приводит к равенству (5.11).

Из вида выражения для записанного во внешних переменных, следует, что поэтому первое приближение для внешнего разложения следует искать в форме

Здесь, как и прежде, черта сверху использована для обозначения частичных сумм (5.6), (5.7), представляющих приближенное решение задачи.

Подставляя (5.12) в (5.8) и удерживая члены порядка для z имеем следующую задачу:

Решение задачи (5.13), которое сращивается с (5.10), имеет вид

Из (5.14), переходя к внутренней переменной, получим, что поэтому первое приближение для внутреннего разложения будем искать в виде

Из (5.1) и (5.6), удерживая члены порядка получаем уравнение и граничное условие для первого члена внутреннего разложения:

Для завершения формулировки краевой задачи для необходимо установить поведение этой функции на бесконечности. Для этого используем условие сращивания Учитывая (5.10), (5.12), (5.14), получим

Обратимся к определению числа Тервуда в первом приближении.

Подставляя выражение (5.15) для в формулу (5.5), для среднего числа Тервуда получаем разложение по числу Пекле:

Покажем, что связанная с движением частицы поправка первого порядка к среднему числу Шервуда выражается через Для этого воспользуемся уравнением (5.16), которое после умножения на с учетом тождества

а также в силу гармоничности функции и условия несжимаемости жидкости (5.4) запишем в виде

Применяя теорему Остроградского — Гаусса к интегралу от левой части (5.19), взятому по объему, заключенному между поверхностями получим

Сумму первых двух интегралов по поверхности частицы преобразуем, подставляя вместо первых сомножителей их значения согласно граничным условиям в (5.9) и (5.16)

Первый интеграл в правой части равен нулю, второй выражается через согласно определению (5.18). Замечая далее, что интеграл обращается в нуль в силу условия непротекания жидкости через поверхность частицы (5.3), находим, что

Для вычисления интегралов по поверхности используем асимптотики функций определяемые формулами (5.10) и (5.17), а также асимптотическое выражение (5.2) для скорости Поскольку выписанных членов этих асимптотик оказывается достаточно, чтобы в результате предельного перехода получить

Воспользовавшись формулами (5.20) — (5.23), находим, что Следовательно, выражение (5.18) может быть записано в виде

Чтобы найти следующие члены разложения числа Шервуда по числу Пекле, необходимо рассмотреть приближения более высокого порядка для функций определив предварительно с большей точностью асимптотическое поведение функции при больших из задачи (5.16), (5.17).

Для определения подставим в правую часть уравнения (5.16) выражения (5.2) и (5.10) для поля скоростей и функции Учитывая вид граничного условия (5.17), ищем решение задачи (5.16), (5.17) в виде суммы

в которой функции и 42 представляют собой решения следующих задач:

Замечая, что частный интеграл уравнения (5.26) удовлетворяет условию на бесконечности, запишем с точностью до членов порядка решение задачи (5.26) в виде

Первое слагаемое в правой части соответствует главному члену асимптотики общего решения однородного уравнения.

Чтобы найти постоянную А, обратимся сначала к задаче (5.27), совпадающей с задачей для определения функции Используя поэтому (5.10) и (5.11), имеем

Таким образом, согласно (5.25), (5.28), (5.29) имеем выражение для содержащее одну неизвестную постоянную А. Проинтегрируем величину по поверхности сферы большого радиуса. Затем, убеждаясь при помощи уравнения (5.16), что (как и в случае для ) в определении (5.18) для интегрирование по равносильно интегрированию по , получим

Вторые члены асимптотических разложений. Среднее число Шервуда. Из выражения для переходя к внешней переменной, находим, что Введем внешнюю переменную в выражение для поля скоростей жидкости (5.2). Воспользовавшись формулой (5.14), для определения второго члена внешнего разложения из (5.8) получим следующее уравнение и граничное условие:

Второе граничное условие для функции следует из условия сращивания разложения при с разложением при Оно имеет вид

Задача (5.30), (5.31) совпадает с соответствующей задачей для случая бесконечно большой скорости химической реакции на поверхности частицы, рассмотренной в работе [119]. Ее решение находится аналогично описанному в § 1 и при малых значениях имеет вид

Знание асимптотики (5.32) позволяет найти второй член внутреннего разложения концентрации. Переходя в (5.32) к переменной можно установить, что наличие логарифмического члена меняет степенной характер разложения концентрации по числу Пекле во внутренней области так, что Поэтому для определения имеем следующую задачу;

Последнее условие следует из условия сращивания внутреннего разложения с внешним разложением

Замена приводит задачу (5.33) к задаче, аналогичной (5.9). Поэтому имеем

Используя полученные асимптотические по выражения для , можно следующим образом записать трехчленное разложение поля концентрации во внутренней области:

В том же приближении для среднего числа Шервуда найдем [36]

Формула (5.36) позволяет рассчитать интенсивность массообмена реагирующей частицы произвольной формы с поступательным потоком, когда на поверхности частицы протекает химическая реакция первого порядка, если известна сила сопротивления частицы и среднее число Шервуда соответствующее массообмену покоящейся частицы с неподвижной средой. В случае теплообмена формула (5.36) определяет число Нуссельта для частицы произвольной формы при фиксированной температуре поверхности частицы и линейном законе теплообмена частицы с окружающей средой. Формула (5.36) обобщает результаты работы [119], где рассматривался диффузионный режим реакции на поверхности сферы (что соответствует предельному переходу при к в задаче (5.1)).

Линейный сдвиговый поток. При сдвиговом обтекании частицы произвольной формы поле скоростей жидкости на бесконечности определяется выражением (2.1). Как и в случае поступательного потока, сведений о поле скоростей (2.1), (5.3), (5.4) оказывается достаточно для получения приближенного выражения для среднего числа Шервуда в виде трехчленного разложения по малому числу Пекле.

При сдвиговом обтекании во внутренней и внешней областях потока решение ищем в виде внутреннего (5.6) и внешнего (5.7) асимптотических разложений, в которых сжатая радиальная координата и порядки величин первых слагаемых таковы:

Нулевой член внутреннего разложения как и в случае поступательного потока, определяется формулами (5.10), (5.11).

Принимая во внимание (2.1) и подставляя внутреннее разложение (5.6) в уравнение (5.1), находим, что частичная сумма удовлетворяет следующему неоднородному уравнению Лапласа и граничному условию на поверхности частицы:

Подстановка внешнего разложения (5.7) в уравнение (5.1) показывает, в силу представления для поля скоростей (2.1), что первые четыре члена разложения функции удовлетворяют одному и тому же уравнению (2.35) с граничным условием затухания решения на бесконечности. Поэтому приближенное решение задачи во внешней области можно представить в следующем пиде:

где фундаментальное решение уравнения (2.35), а полином второй степени относительно величины коэффициенты которого определяются в ходе решения задачи.

Учитывая представление (2.39), (2.40) для функции при малых значениях из выражения (5.39) получаем граничное условие на бесконечности для частичной суммы внутреннего разложения:

Проинтегрируем уравнение (5.38) по контрольному объему жидкости Используя равенство которое следует из уравнения неразрывности (5.4), и переходя к поверхностным интегралам при помощи формулы Остроградского — Гаусса, с учетом условия непротекания жидкости через поверхность частицы (5.3) и представления (5.10) для нулевого члена внутреннего разложения, для функции в (5.40) можно получить следующее выражение

(Напомним, что погрешность формул (5.40) и (5.41) имеет порядок

Умножим уравнение (5.38) на и проинтегрируем его по контрольному объему жидкости V с последующим переходом к поверхностным интегралам по и . В результате получим равенство нулю суммы шести интегралов I которые соответствуют формальной замене функций в формуле (5.20) на и соответственно. Сумму первых двух интегралов преобразуем, используя граничные условия на поверхности частицы (5.9), (5.38), аналогично тому, как это делалось ранее

для поступательного потока. В результате получим

Третий интеграл обращается в нуль ввиду условия непротекания жидкости через поверхность частицы (5.3). Четвертый интеграл также равен нулю в силу представлений (5.10) и (5.40) для функций и которые справедливы вдали от частицы. Шестой интеграл обращается в нуль ввиду равенства (5.10) с учетом того, что интеграл от нормальной составляющей вектора скорости жидкости по поверхности сферы равен нулю (это следует из условия непротекания (5.3) и уравнения неразрывности (5.4)). Пятый интеграл вычисляется путем предельного перехода при с учетом асимптотических свойств функций (5.10), (5.18) и (5.41); он имеет вид

Используя соотношения (5.42), (5.43) и разрешая уравнение для числа Шервуда частицы, находящейся в сдвиговом потоке, получим следующую формулу [164]:

Такая же формула справедлива и для числа Нуссельта, соответствующего теплообмену частицы произвольной формы со средой при фиксированной температуре ее поверхности [112].

Отметим, что хотя формула (5.44) была получена для случая стационарного обтекания сдвиговым потоком неподвижной (закрепленной) частицы, она, как показано в [112], остается справедливой и для свободно взвешенной в сдвиговом течении частицы произвольной формы, которая в общем случае непрерывно меняет свою ориентацию в пространстве и массотеплообмен которой описывается нестационарными уравнениями диффузии и теплопроводности.

Вычисление среднего числа Шервуда для некоторых конкретных случаев. Определение среднего числа Шервуда для частицы заданной формы по формулам (5.36) и (5.44) сводится к вычислению числа Шервуда

соответствуютцего массообмену неподвижной частицы в покоящейся среде. Кроме того, в случае поступательного потока необходимо знать зависящую от ориентации частицы величину проекции силы сопротивления частицы на направление невозмущенного потока на бесконечности а в случае сдвигового потока — определяемый формулой коэффициент а, зависящий от типа сдвигового обтекания. Значения а для некоторых типов сдвигового обтекания приведены в § 2.

Следует отметить, что формулы (5.36) и (5.44) в явном виде не содержат константу так что зависимость числа Шервуда от скорости поверхностной химической реакции проявляется в зависимости Форма зависимости числа Шервуда от совпадает с соответствующей зависимостью в случае диффузионного режима реакции на поверхности частицы и переходит в нее при Интересно отметить, что, как следует из результатов [112, 119], асимптотические выражения среднего числа Шервуда для частиц произвольной формы (формулы (5.36), (5.44)) в рамках использованного приближения не могут быть улучшены, так как информации о поле скоростей поступательного (соотношения (5.2) — (5.4)) и сдвигового (соотношения (2.1), (5.3), (5.4)) потоков оказывается недостаточно для получения следующих членов разложения.

Очевидно, что из формул (5.36), (5.44) в качестве частных случаев могут быть получены выражения для интенсивности массообмена, частиц сферической формы с потоком. Так, для сферической капли имеем

где отношение вязкостей капли и окружающей жидкости; значение соответствует твердой сфере, газовому пузырю.

Для сферической частицы, покрытой жидкой пленкой 139],

Здесь отношение радиусов частицы и пленки; значение (или ) соответствует твердой частице, капле.

Прежде чем перейти к "примерам расчета интенсивности массообмена несферических частиц, отметим, что если

ось частицы, представляющей собой тело вращения, составляет угол со с направлением невозмущенного потока (рис. 6.6), то направляющий вектор скорости жидкости на бесконечности можно представить в виде суммы

где единичные векторы пит направлены соответственно перпендикулярно и параллельно оси вращения тела.

Для медленных течений в стоксовом приближении уравнения движения линейны, поэтому определение поля обтекания частицы можно свести к двум вспомогательным задачам со сдадующими условиями вдали от частицы и на ее поверхности:

которые соответствуют отдельным слагаемым в (5.47). Суперпозиция решений этих задач будет определять полное решение исходной задачи. Обозначим теперь через безразмерные силы сопротивления частицы, обтекаемой соответственно перпендикулярным и параллельным оси вращения частицы потоком. Можно убедиться, что имеют место равенства второе из которых справедливо лишь в стоксовом приближении [107]. Полная сила сопротивления осесимметричной частицы определяется векторной суммой

слагаемые которой находятся из решений задач об обтекании при граничных условиях (5.48а) и (5.486) соответственно. Проекция силы сопротивления частицы (5.49) на направление набегающего потока равна

Формула (5.50) показывает, что в случае тел вращения, произвольно ориентированных в пространстве, для

Рис. 6.6. Ориентация частицы в потоке (ган-телевидная частица).

определеняя величины входящей в среднее число Шервуда (5.36), достаточно знать угол со между осью частицы и направлением невозмущенного потока на бесконечности и абсолютную величину силы сопротивления для случаев перпендикулярного и параллельного расположения оси частицы и потока.

Приведем теперь некоторые конкретные значения величин необходимые для расчета среднего числа Шервуда движущихся реагирующих осесимметричных частиц, произвольно ориентированных в поступательном потоке.

Тонкий круговой диск [36]. Для того чтобы воспользоваться формулой (5.36), определим сначала число Шервуда для неподвижного диска, на поверхности которого протекает реакция первого порядка. Введем цилиндрическую систему координат чтобы диск находился в плоскости а начало координат совпало с центром диска. За характерный масштаб длины выберем радиус диска.

Концентрация не зависит от угла поэтому уравнение для безразмерной концентрации и граничные условия имеют вид

Общее решение уравнения (5.51), затухающее на бесконечности, можно записать в виде

где — функция Бесселя. Функцию найдем из граничного условия на поверхности диска. Врезультате получим

Используя определение (5.5) для числа Шервуда, отсюда имеем следующее выражение:

Из (5.52) при больших значениях безразмерной константы скорости реакции к можно получить

Безразмерная сила сопротивления тонкого кругового диска, ось которого произвольно ориентирована в потоке (рис. 6.7), определяется формулой (5.49), в которой в соответствии с [107] следует положить

Здесь силы сопротивления диска соответственно в случаях, когда плоскость диска перпендикулярна а параллельна набегающему потоку.

Рис. 6.7. Ориентация тонкого кругового диска в потоке.

Формулы (5.36), (5.50), (5.52), (5.54) позволяют вычислять среднее число Шервуда для произвольно ориентированного в потоке тонкого кругового диска в случае протекания гетерогенной химической реакции первого порядка на его поверхности. Для диска, плоскость которого нормальна и параллельна набегающему потоку, зависимости среднего числа Шервуда от безразмерной скорости реакции в логарифмическом масштабе представлены на рис. 6.8 сплошными и штриховыми линиями при разных значениях числа Пекле. Видно, что массообмен частицы в потоке существенно зависит от ее ориентации и скорости поверхностной реакции.

Эллипсоид вращения. Число Шервуда и безразмерная сила сопротивления эллипсоида вращения с полуосями (а — экваториальный радиус) даются формулами [107, 184]

при записи которых в качестве масштаба длины был выбран радиус а.

В случае произвольной ориентации эллипсоида вращения в поступательном потоке в формуле (5.50) значение задается выражением (5.55), а зависимость безразмерной силы сопротивления от отношения приведена в таблице 5.1.11 работы [107]. Следует указать, что применимость формулы (5.55) для ограничена случаем диффузионного режима протекания реакции

Рис. 6.8. Зависимость среднего числа Шервуда от константы скорости химической реакции при различных числах Пекле для кругового диска, ориентированного перпендикулярно и параллельно потоку (сплошные и штриховые линии соответственно).

«Гантелевидная» частица. Для «гантелевидной» частицы, состоящей из двух соприкасающихся сфер равных радиусов, вспомогательное число Шервуда выражается приближенной формулой

которая описывает зависимость от безразмерной константы скорости химической реакции обеспечивая точный результат при и правильную асимптотику при [158, 178]. При записи (5.56) в качестве характерного масштаба длины выбран удвоенный радиус . Для гантелевидной частицы, ось которой (проходящая через центры сфер) произвольно ориентирована в пространстве и составляет угол со с направлением набегающего потока (рис. 6.6), в формуле (5.50) следует положить [107]

Частица, состоящая из двух соприкасающихся сфер разных радиусов. В случае частицы, состоящей из двух соприкасающихсясфер разных радиусов

вспомогательное число Шервуда для диффузионного режима реакции равно [158, 178]

В качестве масштаба длины выбрана сумма радиусов сфер; логарифмическая производная гамма-функции, у — постоянная Эйлера.

Формулы для расчета проекции силы сопротивления на направление скорости невозмущенного поступательного потока в случае произвольной ориентации частицы рассматриваемого типа приведены в [107].

Напомним, что приведенные выше результаты могут быть использованы и при расчете числа Нуссельта в задаче о теплообмене частицы произвольной формы при фиксированной температуре ее поверхности.

Заметим также, что при к число Шервуда (или число Нуссельта для частицы с фиксированной температурой поверхности), соответствующее покоящейся частице в неподвижной среде, совпадает с безразмерной величиной электрической емкости тела и может быть измерено методами электростатики.

В [82, 83] исследовался теплообмен частицы любой формы в поступательном и сдвиговом потоках при произвольной зависимости коэффициента температуропроводности от температуры. Для среднего числа Нуссельта были получены три первых члена асимптотического разложения по малому числу Пекле. В работе [8] в предположении постоянства чисел Шмидта и Прандтля и степенного закона изменения вязкости от температуры рассматривалась задачу о совместном тепломассопереносе к сферической частице в потоке сжимаемого газа при малых числах Рейнольдса. Совместный тепломассообмен частицы любой формы с поступательным (и сдвиговым) потоком вязкого теплопроводного газа в случае произвольной зависимости коэффициентов переноса от температуры изучался в [83, 85, 91, 165]. Считалось, что температура и концентрация на поверхности частицы и вдали от нее постоянны [83, 85, 165] или на поверхности частицы протекает химическая реакция (в диффузионном режиме), которая сопровождается тепловыделением [91]. Для чисел Шервуда и Нуссельта найдено два старших члена асимптотического раз ложения по малым числам Пекле.