§ 8. Нестационарный массоперенос к частице при малых числах Пекле

Исследуем процесс установления стационарного режима массопереноса к сферической частице в установившемся поступательном потоке при малых числах Пекле и Рейнольдса в случае, когда в некоторый момент времени на поверхности частицы начинается химическая реакция первого порядка [25] (например, вследствие разогрева частицы до критической температуры). Решение этой

задачи дает, в частности, возможность оценить время выхода на рассмотренный в § 1 гл. 6 стационарный режим массообмена частицы с потоком.

В безразмерных переменных нестационарное уравнение диффузии при наличии конвективного переноса, начальное и граничные условия можно записать в виде

Здесь, как и прежде, безразмерное время, причем масштабом времени служит отношение остальные обозначения и система координат — те же, что в § 1 гл. 6. При к задача (8.1) — (8.4) также описывает нестационарный режим теплообмена сферической частицы с потоком при постоянной температуре частицы (в этом случае под следует понимать коэффициент температуропроводности среды, отношение где — температура потока, температура на бесконечности).

Будем решать задачу методом сращиваемых асимптотических разложений по числу Пекле, предполагая, что число Рейнольдса и используя известные внутреннеь и внешнее разложения для функции тока (формулы (1.6) и (1.7) гл. 6).

Введем преобразование Лапласа от степени превращения

Аналитичность функции в правой полуплоскости комплексного переменного следует из ограниченности функции

Уравнение для полученное из (8.1) с учетом условия (8.2), для внутренней области имеет вид

Для внешней области

где осесимметричный сферический оператор Лапласа в переменных

Из граничных условий (8.3), (8.4) следует

Следуя методу сращиваемых асимптотических разложений, ищем функции

причем

Решая соответствующие задачи (8.6), (8.8) и (8.7), (8.9), определяем возникающие произвольные константы сращиванием внутреннего (8.10) и внешнего (8.11) асимптотических разложений аналогично тому, как это делалось в § 1 гл. 6.

Нулевое приближение. Нулевое приближение внешнего разложения имеет вид Для внутреннего разложения получаем уравнение Лапласа и следует положить При таком выборе решение удовлетворяющее условию (8.8), является лапласовским образом нулевого приближения, приведенного в § 1 гл. 6 (формула (1.12)). В результате получим

Первое приближение. Из выражения (8.12) следует, что Уравнение для имеет вид

Решение уравнения (8.13), затухающее на бесконечности согласно условию (8.9), таково

Здесь функция Макдональда, полином Лежандра; всюду берется та ветвь функции которая на действительной положительной полуоси комплексного переменного принимает положительное значение. Коэффициенты определяются из условий сращивания с (8.12). В результате имеем

Отсюда следует, что и уравнение для имеет вид

Решение этого уравнения, удовлетворяющее граничному условию, вытекающему из (8.8), и условию сращивания с (8.14), записывается следующим образом:

Второе приближение. Во втором приближении Для функции получаем уравнение и граничное условие

После громоздких вычислений получим в результате

сращивания:

Для второго приближения внутреннего разложения, как видно из выражения (8.17), Для имеем уравнение Лапласа, решение которого, удовлетворяющее условию (8.8) и условию сращивания с 8.17), таково:

Третье приближение. В связи с появлением логарифмического члена во втором приближении внешнего разложения третье приближение внутреннего разложения также определяется сращиванием с Не приводя здесь всех вычислений ввиду их громоздкости, отметим лишь, что поэтому уравнение для совпадает с (8.13). После сращивания

Среднее число Шервуда. Для определения нестационарного поля концентрации необходимо найти обычным методом оригиналы функций используя полученные выше результаты для значений Вычисляя затем локальный диффузионный поток по полю концентрации вблизи частицы и интегрируя по поверхности сферы, получим для среднего числа Шервуда

В пределе при о соотношение (8.19) дает результат, полученный для стационарного режима (§ 1 гл. 6). В частном случае бесконечно большой скорости реакции на поверхности частицы формула (8.19) переходит в выражение, полученное в работе [1281.

Рис. 7.10. Зависимость среднего числа Шервуда для сферической частицы от безразмерного времени при разных числах Пекле и скоростях поверхностной химической реакции первого порядка.

Отметим, что, как и в случае стационарного режима, зависимость числа Шервуда от числа Шмидта появляется впервые в слагаемом

На рис. 7.10 показана зависимость числа Шервуда от при разных значениях числа Пекле и константы скорости поверхностной химической реакции согласно соотношению (8.19). Видно, что процесс массообмена практически выходит на стационарный режим при т. е., в размерной форме, при

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)