§ 3. Диффузионный поток на деформированный газовый пузырь при больших числах Рейнольдса

Рассмотрим теперь другой предельный случай — диффузию к пузырю, всплывающему в жидкости при больших числах Рейнольдса [35]. Известно, что форма пузыря существенно зависит от величины числа Вебера. При малых форма пузыря близка к сферической; при больших он принимает вид сферического сегмента, что связано также с явлениями отрыва в кормовой части пузыря.

Значения чисел Вебера порядка единицы составляют важную для практики промежуточную область изменения когда пузырь, будучи существенно деформированным, сохраняет симметрию относительно своего миделева сечения. Для таких значений форма пузыря хорошо аппроксимируется сплюснутым в направлении потока эллипсоидом вращения

Здесь а — малая полуось эллипсоида, размерные прямоугольные декартовы координаты, ось направлена вдоль потока. При этом оказывается, что требование выполнения граничного условия для нормальных напряжений в передней и задней критических точках, а также вдоль границы миделева сечения пузыря приводит к следующей зависимости между числом Вебера и отношением большой и малой полуоси эллипсоида [157]:

Численные оценки показывают [157], что максимальное отклонение истинной кривизны от соответствующего значения для аппроксимирующего эллипсоида не превышает 10% при и 5% при

В соответствии с [35, 157] отметим, что при

происходит отклонение формы пузыря от сферической более чем на 5% число Рейнольдса, ускорение поля внешних сил, -безразмерный параметр,

зависящий лишь от свойств жидкости, кинематическая вязкость жидкости).

При больших значениях (например, для нефти деформация пузыря становится существенной уже при малых числах (этот случай рассматривался в § 2), а при больших форма пузыря значительно отличается от эллипсоидальной.

Для рассматриваемого в этом параграфе случая малых (например, для воды деформацию необходимо принимать во внимание, начиная с При таких значениях в свою очередь становятся существенными полученные Муром [157] поправки к полю скоростей потенциального обтекания пузыря.

Далее, как и в § 2, в качестве характерного размера длины выбирается радиус эквивалентной по объему сферы

В ортогональной системе безразмерных координат связанной с исходными декартовыми координатами соотношениями

поверхность пузыря задается уравнением (точкам натекания и стекания соответствуют оно получается в результате подстановки соотношений (3.3) с учетом (3.2) в уравнение (3.1).

Для капельных жидкостей числа Шмидта велики (например, для воды поэтому толщина диффузионного пограничного слоя значительно меньше толщины гидродинамического пограничного слоя. [60, 157], в котором существенны поправки к потенциальному обтеканию. Отсюда следует, что для определения параметров диффузионного пограничного слоя достаточно знать лишь распределение (безразмерных) скоростей на границе пузыря (см. § 1). Оно имеет вид [157]

где

Для определения полного диффузионного потока на пузырь (см. § 1) должны быть использованы выражения для метрических коэффициентов на его поверхности

Используя выражения (3.4), (3.5) и учитывая, что на поверхности пузыря имеются лишь две критические точки, соответствующие значениям полный диффузионный поток можно найти по формулам (1.5), (1.8). Для среднего числа Шервуда (1.10) в нулевом приближении, соответствующем потенциальному обтеканию пузыря имеем

где

Из этой формулы видно, при X что соответствует сферическому пузырю [195].

Для вычисления поправок к полному потоку при конечных числах Рейнольдса в формуле (3.4) нужно учесть второй член в разложении для Отметим, что представление (3.4) становится непригодным при Поэтому локальный диффузионный поток (1.7) может быть вычислен с использованием (1.5), (3.4) лишь при меньших значениях Однако интегралы в (1.5), (1.7) сходятся, и можно оказать [35], что вычисление

полного диффузионного потока но формуле (1.8) дает правильный результат с точностью до

Как следует из (1.5), (1.8), (3.4), (3.5), выражение для среднего числа Шервуда имеет вид

Здесь — функция отношения полуосей пузыря (или числа Вебера), которая определяет учитывающую влияние конечных чисел Рейнольдса поправку к полному потоку, рассчитанному для потенциального обтекания.

Рис. 2.3. Зависимость среднего числа Шервуда от отношения полуосей пузыря при разных числах Рейнольдса.

При (сферический пузырь) получаем [195]

При выражения (1.5), (1.8), определяющие рассчитывались численно. Соответствующие результаты приведены в где показано, что во всем рассматриваемом интервале чисел Вебера можно использовать следующие аппроксимации:

Максимальное отклонение от точных значений при этом не превышает 3%.

На рис. 2.3 и 2.4 показана зависимость среднего числа Шервуда от отношения полуосей пузыря и числа Вебера соответственно. Сплошные кривые соответствуют значениям равным Штриховая линия соответствует случаю малых чисел Рейнольдса (см. § 2).

Из результатов численного анализа (см. рис. 2.4) следует, что при больших числах Рейнольдса в области

среднее число Шервуда с достаточной степенью точности может быть представлено в виде следующей линейной зависимости от числа Вебера:

Полученные результаты определяют зависимость диффузионного потока на пузырь от чисел Вебера и Рейнольдса при Следует подчеркнуть, что рассматриваемый здесь интервал изменения числа Вебера соответствует случаям, при которых форма пузыря еще достаточно близка к эллипсоиду вращения.

Приведенные в §§ 2, 3 результаты свидетельствуют о значительном снижении полного диффузионного потока на газовый пузырь при уменьшении чисел Рейнольдса, причем это снижение наиболее существенно при больших деформациях пузыря, т. е. при больших числах Вебера.

Рис. 2.4. Зависимость среднего числа Шервуда от числа Вебера при разных числах Рейнольдса для газового пузыря.

При фиксированном числе Рейнольдса с увеличением числа Вебера в диапазоне полный диффузионный поток монотонно растет (см. рис. 2.4). Можно полагать, что при меньших числах Рейнольдса диффузионный поток достигает максимума при некотором критическом значении и уменьшается при дальнейшем увеличении числа Вебера.

Следует отметить, что в работе [21] исследовалось растворение эллипсоидального пузыря в жидкости малой вязкости; там же получено выражение для среднего числа Шервуда в случае «дискообразного пузыря».