§ 5. Плоский случай. Конвективная диффузия к эллиптическому цилиндру и пластине

Рассмотрим стационарную конвективную диффузию к поверхности тела, имеющего форму эллиптического цилиндра, обтекаемого в поперечном направлении поступательным потоком со скоростью на бесконечности [89].

Сечение цилиндра в прямоугольной декартовой системе координат х, у, z (координата направлена по оси цилиндра перпендикулярно плоскости сечения) задается уравнением

где полуоси эллиптического цилиндра, ориентированные вдоль и поперек набегающего потока соответственно.

В качестве характерного масштаба длины и скорости выбираем радиус эквивалентного по площади поперечного сечения кругового цилиндра и характерную скорость жидкости

Здесь число Рейнольдса, коэффициент кинематической вязкости жидкости; функция должна определяться путем асимптотического анализа при соответствующей гидродинамической задачи об обтекании цилиндра. Отметим, что для кругового цилиндра выполняется соотношение к постоянная Эйлера (см. § 6 гл. 3).

В безразмерной системе координат сплюснутого или вытянутого эллиптического цилиндра

поверхность (5.1) при всех значениях параметра задается уравнением (параметры определяются выражениями (2.2)).

Распределение скоростей жидкости при обтекании эллиптического цилиндра (5.1) в системе координат (5.2), (2.2) определяется безразмерной функцией тока [118]

Разлагая выражение в ряд по для функции получаем

Учитывая, что в данном случае на поверхности цилиндра имеются лишь две критические точки которые разбивают область течения на участки где точка геометрически совпадает с но должна учитываться в формулах (1.11), для локального и полного диффузионных потоков на единицу длины цилиндра получаем

Здесь неполная бета-функция, модифицированное число Пекле.

Из анализа выражения для локального диффузионного потока (5.5) следует, что с ростом параметра изменение величины аналогично изменению, которое имело место в случае однородного стоксова обтекания эллипсоида вращения (см. § 2). А именно, при максимум локального диффузионного потока расположен в передней критической точке цилиндра монотонно уменьшается с ростом параметра в области при 1 У с ростом сначала происходит рост локального потока вплоть до некоторой точки который далее сменяется (при ) монотонным убыванием. Можно показать, что при выполняются следующие асимптотические соотношения:

Из формулы (5.5) следует, что при Рассмотрим подробнее этот предельный случай, соответствующий поперечно обтекаемой пластине бесконечной длины и шириной 26. Из выражения (5.4) видно, что при Эта ситуация также полностью аналогична той, которая имела место в случае конвективной диффузии к эллипсоидальной частице при малых значениях кривизны ее поверхности в точке натекания (см. § 2). Поэтому для определения полного диффузионного потока необходимо учесть следующий член разложения функции тока в ряд по Поле течения в этом предельном случае вблизи пластины представляется в виде (1.5), где

Используя формулы (1.24), (1.7) и (5.6), получаем следующее выражение для безразмерного интегрального потока на переднюю часть поверхности пластины

Здесь за характерный масштаб длины выбрана половина ширины пластины Реть

Из формулы (5.7) следует, что для поперечно обтекаемой пластины полный диффузионный поток пропорционален числу Пекле в степени меньше, чем для эллиптического цилиндра с конечным радиусом кривизны в точке натекания (5.5), для которого соответствующий показатель степени равен

Диффузия к поверхности продольно обтекаемой плоской полубесконечной пластины при больших числах Рейнольдса (течение Блазиуса) рассматривалась в [154] (см. также [60, 109]).