§ 2. Методы решения задач о массотеплообмене частиц с потоком

Глубокая аналогия между диссипативными процессами переноса импульса в движущейся жидкости и переноса массы и тепла позволяет при теоретическом исследовании процессов массотеплообмена частиц с потоком использовать математические методы, разработанные в теории вязкой жидкости. Записанное в безразмерных переменных уравнение конвективной диффузии для одного компонента в стационарном случае представляет собой уравнение в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами и при отсутствии объемных химических реакций имеет вид

Точные аналитические решения этого уравнения при отсутствуют, за исключением нескольких вырожденных случаев, когда решение зависит только от расстояния до реагирующей поверхности и не зависит от поперечной координаты. Аналогичное утверждение справедливо и применительно к уравнению конвективного теплопереноса, которое совпадает с (2.1) с точностью до замены концентрации температурой и диффузионного числа Пекле соответствующего диффузии, тепловым числом Пекле соответствующим теплопроводности.

В задачах массотеплообмена число Пекле является аналогом числа Рейнольдса и характеризует меру отношения скоростей конвективного переноса тепла и массы к диффузионному переносу.

Как и в механике вязкой жидкости, приближенное решение задач о тепломассообмене частицы со средой базируется на применении приближенных методов, в которых

фигурирующий в уравнении (2.1) безразмерный параметр — число Пекле или используется как параметр разложения при отыскании решений в виде асимптотических рядов. Поэтому построение приближенных аналитических решений оказывается возможным лишь в предельных случаях малых и больших значений безразмерного параметра.

В данной книге вопрос о массотеплообмене частицы с потоком исследуется в случаях, когда для описания поля скоростей обтекания частицы могут быть использованы имеющиеся в литературе приближенные аналитические решения гидродинамической задачи, обычно соответствующие малым числам Рейнольдса (см., например, [107]). Диффузионное и тепловое числа Пекле однозначно связаны с числом Рейнольдса соотношениями

где число Шмидта, равное отношению коэффициента кинематической вязкости к коэффициенту диффузии, число Прандтля, равное отношению коэффициента кинематической вязкости к коэффициенту температуропроводности.

Для большинства газов коэффициенты диффузии и кинематической вязкости по порядку величины равны между собой в то время как в жидкостях коэффициент кинематической вязкости обычно на несколько порядков величины превышает коэффициент диффузии В очень вязких жидкостях число Шмидта достигает значений порядка .

Число Прандтля изменяется в более узких пределах, чем число Шмидта. В газах числа Прандтля примерно равны единице (в частности, для воздуха при обычных условиях а в обычных жидкостях не превышают 10 (для воды при температуре имеем Только в очень вязких жидкостях типа глицерина среднее число Прандтля имеет порядок ; напротив, в жидких металлах значения как правило, очень малы (для ртути

Из приведенных примеров следует, что в реальных задачах о массообмене частиц с потоком при малых числах Рейнольдса число Пекле в уравнении (2.1), вообще говоря, может принимать значения, изменяющиеся в очень широком интервале.

Однако наиболее характерными являются малые и большие значения этого параметра. Эта особенность

физических постановок задач о массотеплообмене частиц с потоком при малых числах Рейнольдса придает особую значимость анализу и получению аналитических решений модельных задач о массотеплообмене частиц при предельных — малых и больших — значениях чисел Пекле. Ввиду существенного различия асимптотического поведения решений уравнения (2.1) при больших и малых значениях параметра при построении решений, соответствующих различным асимптотикам, как и в гидродинамике вязкой жидкости, используются различные модификации метода сингулярных возмущений [15, 56, 66].

При больших значениях числа Пекле уравнение (2.1) представляет собой типичный пример уравнения с малым параметром при старшей производной, решение которого не может быть найдено в форме регулярного разложения. Построение решения в этом случае основывается на проведении растяжений независимых переменных и выделении в потоке нескольких областей с различным асимптотическим поведением решения, одной из которых является тонкий диффузионный пограничный слой у поверхности частицы. Распределение концентрации во всей исследуемой области находится в виде совокупности асимптотических рядов-решений, определяющих решение в каждой из областей и удовлетворяющих условию сращивания на границах.

Разбиение на области и формализм получения приближенных решений зависят от характера обтекания, т. е. от конкретного распределения скорости. При этом весьма существенным оказывается различие полей обтекания твердых частиц, когда скорость потока на поверхности частицы равна нулю, и жидких частиц (капли, пузыри), когда скорость потока на поверхности частицы имеет отличное от нуля значение. Это различие обусловливает целесообразность принятого в данной книге отдельного рассмотрения массообмена твердых и жидких частиц с потоком.

При малых числах Пекле отыскание решения уравнения (2.1) в виде регулярного степенного ряда по малому параметру — числу Пекле — также не приводит к успеху, поскольку здесь, как и в гидродинамической задаче об обтекании частиц при малых числах Рейнольдса, отбрасываемые в ходе построения решения члены перестают быть малыми на достаточно больших расстояниях от частицы. Сингулярность возмущения, вносимого реагирующей частицей в поток с постоянной на бесконечности

концентрацией реагента, по существу обусловлена в этом случае бесконечными размерами области определения решения.

В соответствии с методом сращиваемых асимптотических разложений (см., например, [15]) приближенное решение задачи в данном случае может быть построено в виде двух асимптотических рядов, определяющих распределение концентрации соответственно во внутренней и внешней областях пространства. Соответствие мещду рядами-решениями устанавливается путем асимптотической процедуры сращивания.

Необходимые для понимания детали используемых в книге асимптотических методов будут по мере необходимости сообщаться далее непосредственно по ходу изложения.