Глава 1. МАССООБМЕН СФЕРИЧЕСКОЙ КАПЛИ (ПУЗЫРЯ) С ЛАМИНАРНЫМ ПОТОКОМ ЖИДКОСТИ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ ПЕКЛЕ

В данной главе излагаются полученные к настоящему времени результаты приближенного аналитического решения задачи о распределении концентрации растворенного в потоке вещества, поглощаемого одиночной движущейся каплей или пузырем, в случае, когда число Пекле велико, а диффузионное сопротивление массообмену сосредоточено во внешней среде. Для простоты предполагается, что капля (пузырь) имеет сферическую форму.

Итогом проведенного анализа являются приближенные формулы для поля концентрации и диффузионного притока растворенного в потоке вещества к поверхности капли. Полученные данные позволяют практически рассчитывать массообмен между непрерывной и дискретной фазами при экстракции и других процессах, проводить сопоставление и контроль результатов численного решения задачи, содержат методику приближенного решения сходных по математической постановке задач.

§ 1. Математическая формулировка задачи о поле концентрации вещества в потоке. Выделение основных областей поля концентрации

Рассмотрим задачу о стационарной диффузии к поверхности сферической капли, обтекаемой однородным поступательным потоком вязкой несжимаемой жидкости. Будем считать жидкости несмешивающимися и ограничимся пока случаем малых чисел Рейнольдса, пренебрегая инерционными эффектами. Для описания поля скоростей жидкости будем пользоваться известными результатами (см., например, [16, 107]). Будем считать также, что число Пекле велико по сравнению с единицей: где скорость набегающего потока, а — радиус капли, коэффициент диффузии.

Учитывая осесимметричность задачи, запишем безразмерное уравнение стационарной диффузии в потоке в

сферической системе координат, связанной с центром капли:

Здесь малый параметр. Как будет видно из дальнейшего изложения, введение малого параметра по формуле удобно в связи с тем, что толщина диффузионного пограничного слоя у поверхности капли оказывается порядка

Угол отсчитывается от направления потока на бесконечности, радиальная координата отнесена к радиусу капли, концентрация отнесена к ее значению вневозмущенном потоке; безразмерные (отнесенные к скорости набегающего потока) компоненты скорости жидкости, определенные соотношениями

Здесь — функция тока, соответствующая решению Рыбчинского — Адамара [107], отношение вязкостей капли и окружающей ее жидкости (для газового пузыря

Безразмерные граничные условия в предположении полного поглощения вещества на поверхности капли и постоянства концентрации вдали от нее имеют вид

Приведем еще одну форму записи уравнения (1.1), удобную для последующего анализа:

В левой части (1.4) стоит якобиан функций с и

Наличие в уравнении (1.1) малого параметра дает возможность определить поле концентрации во всей области течения путем приближенного решения задачи Для построения такого решения необходимо преодолеть специфические трудности, связанные

с тем что задача (1.1)-(1.3) является сингулярно возмущенной (ввиду наличия малого параметра при старшей производной). Это требует предварительного исследования задачи с целью выделения областей с различной структурой асимптотических решений.

Рис. 1.1. Схема разбиения поля концентрации вне капли на области с различной структурой асимптотических решений.

Каждое из этих решений описывает распределение концентрации в соответствующей области течения и находится из анализа приближенной, более простой, чем (1.1)-(1.3), задачи с применением процедуры сращивания.

Сравнительный анализ величин отдельных слагаемых в уравнении (1.1) при с учетом явного вида функции тока (1.2) будет проведен ниже. Он показывает, что в потоке можно выделить несколько областей с различными механизмами массопереноса, которые схематически показаны на рис. 1.1. Это внешняя область область передней критической точки диффузионный пограничный слой с исключенной областью передней критической точки и область диффузионного следа которая в свою очередь состоит из областей . В каждой из областей уравнение (1.1) заменяется приближенным в результате выделения главных членов разложений по малому параметру

Характерные размеры областей и их условные границы в задачах рассматриваемого типа определяются из следующих соображений. Например, делается растяжение координат , т. е. вводятся новые координаты по формулам

Исходная задача (1.1) — (1.3) записывается в новых переменных которые считаются величинами порядка единицы при Далее проводится оценка порядков величин отдельных слагаемых в уравнении (1.1) с учетом (1.2), конкретизируются значения и выделяются области изменения исходных переменных где может быть достигнуто то или иное упрощение уравнения (1.1) за счет пренебрежения слагаемыми более высокого порядка малости по 8.

Из дальнейшего будет видно, что преобразование (1.5) наиболее часто используется при Для краткости будем в этом случае употреблять переменные без индексов.

Отметим, что для исследования всей области течения нельзя ограничиться использованием лишь растяжений (1.5). Так, в окрестности передней критической точки следует ввести растянутые координаты по формулам (2.1) § 2.

При выделении области диффузионного следа и последующем разбиении ее на области необходимо наряду с растяжением вводить сжатие координат по формуле а также исследовать изменение порядка функции тока в зависимости от соответствующего деформирования или и угловой координаты (см. § 3). В результате при описании границ областей в данном случае будет фигурировать та или иная асимптотика функции тока, вместо которой удобнее использовать более простую функцию

Последнее объясняется тем, что в области следа функции а также игр имеют при малых одинаковый порядок, а выражение (1.6) — наиболее простая комбинация координат , обладающая этими свойствами при указанных деформациях.

Следует подчеркнуть, что функция выбирается в соответствии с видом функции тока; для функции тока

иного, чем (1.2), вида выражение для может, вообще говоря, отличаться от (1.6).

На рис. 1.1 для условного изображения указанных выше характерных областей наряду со сферической системой координат использована также система, связанная с функцией тока (или, что то же, с функцией Ниже будут использоваться обе эти системы.

Дадим теперь краткую характеристику каждой области.

Во внешней области (здесь и далее неравенства в фигурных скобках указывают порядок характерных размеров рассматриваемой области) роль диффузии в переносе растворенного вещества незначительна, и концентрация сохраняет постоянное значение, равное концентрации в набегающем потоке, т. е.

В области передней критической точки уравнение (1.1) может быть несколько упрощено, однако в нем сохраняются конвективные члены и члены, описывающие диффузию как в тангенциальном, так и в радиальном направлениях.

В диффузионном пограничном слое с исключенной областью передней критической точки в уравнении (1.1) при сохранении конвективных членов можно пренебречь тангенциальным диффузионным переносом по сравнению с диффузией в радиальном направлении.

В конвективно-погранслойной области диффузионного следа правой частью (1.1) можно пренебречь по сравнению с левой. Поэтому концентрация здесь зависит только от функции тока и вдоль линий тока сохраняет постоянные значения, равные значениям на выходе из диффузионного пограничного слоя.

Во внутренней области диффузионного следа оказывается возможным пренебречь радиальной диффузией вещества.

В области задней критической точки после упрощения уравнения (1.1) в нем сохраняются члены, описывающие диффузию как в радиальном, так и в тангенциальном направлениях.

В области смешения определяющую роль в массообмене играет тангенциальный перенос вещества путем диффузии.

В приложениях наибольший интерес представляют сведения о локальном и интегральном диффузионных потоках вещества на поверхность капли, которые определяют интенсивность массообмена капли с потоком. Очевидно, что для их расчета достаточно знания распределения концентрации вблизи поверхности капли, т. е. в областях Однако для нахождения поля концентрации в этих областях необходимо решить задачу во всей области изменения переменных Кроме того, знание распределения концентрации в диффузионном следе капли оказывается весьма важным при расчете массообмена системы капель с потоком.

В соответствии с используемым асимптотическим методом решения вклады отдельных участков поверхности капли, граничащих с областями в интегральный массообмен капли с потоком, так же как и суммарная интенсивность массообмена, представляются в виде разложений по степеням малого параметра .