§ 2. Массообмен сферической частицы при сдвиговом обтекании

Массоперенос к частице в поступательном потоке, рассмотренный в § 1, хорошо моделирует многие реальные процессы в дисперсных средах в случаях, когда основную роль в конвективном переносе играет скорость поступательного движения частиц относительно жидкости (скорость «межфазного скольжения»), а градиенты невозмущенного поля скоростей несущественны, т. е. когда в разложении невозмущенной скорости, представленном формулой (1.1) из введения, преобладающим является первое слагаемое. На практике часто встречаются также случаи, когда частицы практически полностью увлекаются потоком, т. е. скоростью межфазного скольжения можно пренебречь, и определяющим становится конвективный перенос, обусловленный сдвиговым движением потока, которое в случае линейного сдвига описывается вторым слагаемым упомянутой формулы. В таких случаях при исследовании массообмена частицы с потоком удобно связать систему координат с центром тяжести частицы таким образом, чтобы эта система двигалась со скоростью частицы поступательно, а сама частица могла свободно вращаться вокруг начала координат. В случае линейного сдвигового потока невозмущенному полю течения в безразмерных переменных соответствует следующее распределение скорости жидкости на бесконечности:

Здесь размерные элементы матрицы коэффициентов сдвига, декартова система координат с началом в центре частицы, характерная скорость потока, обусловленная сдвигом, а — характерный размер частицы, — символ Кронекера; по повторяющимся индексам производится суммирование, равенство суммы диагональных элементов нулю следует из уравнения неразрывности жидкости, физический смысл

и интерпретация элементов были приведены во введении.

Весьма распространенным случаем рассматриваемого движения является простой сдвиг — линейный плоский сдвиговый поток, который определяется соотношениями

Рассмотрим движение сферической частицы в простом сдвиговом потоке (2.1), (2.2). Граничные условия для компонент скорости жидкости имеют вид

Условие (2.3) соответствует невозмущенному полю течения (2.1), (2.2). Условие (2.4) есть условие прилипания на поверхности сферической частицы, в котором принято во внимание, что свободно взвешенная в простом сдвиговом потоке частица вращается с постоянной угловой скоростью, равной угловой скорости вращения потока как твердого тела.

При записи уравнений наряду с декартовой будет использоваться сферическая система координат в которой направление оси выходящей из центра частицы, совпадающей с направлением сдвигового потока, служит осью, от которой ведется отсчет угла

Решение задачи об обтекании расположенной в начале координат сферической частицы простым сдвиговым потоком (2.3), (2.4) в главном приближении метода сращиваемых асимптотических разложений (стоксово приближение) приводит к следующим выражениям для компонент скорости жидкости [130]:

Математическая формулировка задачи о массообмене реагирующей сферической частицы с простым сдвиговым потоком имеет следующий вид:

где заданное формулами (2.5) поле скоростей обтекания, , как и ранее — степень превращения, использование которой при описании поля концентрации приводит к сокращению записи формул.

Граничное условие (2.8) соответствует протеканию на поверхности частицы реакции первого порядка; в случае диффузионного режима реакции в (2.8) следует перейти к пределу при к

Отметим, что в рассматриваемом случае простого сдвигового течения, в отличие от ситуации, рассмотренной в § 1, распределение скорости как в невозмущенном потоке, так и в окрестности частицы не обладает осевой симметрией; аксиальная компонента скорости отлична от нуля, в выражении для всех трех компонент скорости сохраняется зависимость от трех координат Решение задачи (2.5) — (2.8) при малых значениях числа Пекле может быть найдено методом сращиваемых асимптотических разложений во внутренней и внешней областях. Сравнительный анализ поведения отдельных членов в уравнении (2.6) с учетом (2.5) при показывает, что в рассматриваемом случае порядки величин конвективных и диффузионных членов в (2.6) становятся одинаковыми при Поэтому разбиение всей области течения на внутреннюю и внешнюю области определяется соответственно неравенствами Система сжатых координат во внешней области вводится следующим образом:

Как и в случае поступательного потока, решения во внутренней и внешней областях строятся в виде асимптотических рядов

где, как обычно, в

Решение во внутренней области должно удовлетворять уравнению (2.6) и граничному условию на поверхности сферы (2.8). Распределение концентрации во внешней области определяется следующим уравнением и граничным условием:

которые получены путем перехода в (2.5), (2.6), (2.7) к сжатым (внешним) переменным

Неизвестные постоянные, возникающие при решении задач для членов внешнего и внутреннего (2.9) асимптотических разложений, определяются путем использования процедуры сращивания (1.8).

Нулевой член внешнего разложения равен нулю: Старший член внутреннего разложения, как и в случае поступательного обтекания сферы, определяется решением задачи при и задается формулой (1.12), описывающей распределение концентрации в неподвижной среде.

Перейдем теперь к определению следующего члена внешнего разложения, порядок которого устанавливается из условия сращивания (1.8), что приводит к равенству Подставив разложение (2.10) в уравнение (2.11) и собирая члены при одинаковых степенях малого параметра получаем следующее уравнение для первого члена внешнего разложения:

Однопараметрическое семейство решений уравнения (2.12) имеет вид [69, 132]

где фундаментальное решение уравнения (2.12), соответствующее точечному источнику в сдвиговом потоке, а произвольная постоянная, которая будет определена из сращивания с решением во внутренней области. Исследование асимптотики функции приводит к следующему результату [133]:

Процедура сращивания нулевого члена внутреннего разложения (1.12) и первого члена внешнего разложения (2.13) с учетом (2.14) дает возможность найти значение фигурирующей в формуле (2.13) константы

что позволяет определить порядок первого члена внутреннего разложения:

Следует отметить, что по аналогии с гидродинамической задачей об обтекании частицы при малых числах Рейнольдса распределение концентрации (2.13), (2.15) соответствует озееновскому приближению и может интерпретироваться как поле концентрации, порожденное точечным источником, интенсивность которого равна находящимся в однородном сдвиговом потоке (функция соответствует источнику интенсивности ).

Распределение концентрации обладает своеобразными свойствами. В частности, асимптотическое поведение функции при больших существенно зависит от выбора направления радиуса-вектора, и, в отличие от случая массообмена частицы в поступательном потоке, концентрация на больших расстояниях от частицы уменьшается не экспоненциально, а по степенному закону [133].

Продолжим построение решения во внутренней области. Подставляя двучленное внутреннее разложение в (2.6) и (2.8), придем к следующему уравнению и граничному условию на поверхности частицы для

первого члена внутреннего разложения:

Из формул (2.13), (2.14) с учетом условия сращивания (1.8) получаем граничное условие на бесконечности для функции

Прямой проверкой нетрудно убедиться, что решение задачи (2.17), (2.18) имеет вид

Таким образом, с точностью до членов порядка (двучленное приближение) распределение концентрации в простом сдвиговом потоке во внутренней и внешней областях около реагирующей частицы описывается соответственно выражениями

где функция определяется формулой (2.13), число а — последней формулой (2.14). Из (2.20), в частности, следует, что в двучленном приближении сдвиговое течение, как и поступательное (ср. с результатами проявляется во втором члене и приводит к существенному изменению распределения концентрации в окрестности частицы, но в отличие от случая поступательного потока не нарушает сферической симметрии распределения концентрации и имеет порядок величины а не Воспользовавшись выражением (2.20) для распределения. концентрации во внутренней области, рассчитаем интенсивность массообмена частицы с потоком. По определению, для числа Шервуда можно получить [79]

Второй член в скобках в правой части (2.21) дает поправку к величине интенсивности массообмена, обусловленную сдвиговым течением. Видно, что обтекание сдвиговым потоком приводит к увеличению притока вещества к поверхности реагирующей частицы, пропорциональному корню квадратному из интенсивности сдвига, а зависимость поправочного члена от кинетического параметра является квадратичной.

Для диффузионного режима реакции на поверхности сферы двучленная формула для среднего числа Шервуда (2.21) была получена в [133].

Последовательное определение членов асимптотических рядов — решений во внутренней и внешней областях может быть продолжено. При этом, как показывает анализ, определение явного вида этих членов наталкивается на серьезные трудности. Однако в выражении для числа Шервуда оказывается возможным получить в аналитической форме еще два слагаемых, не выходя за пределы точности, обеспечиваемой использованием для поля скоростей стоксова приближения (2.5).

Из явного вида двучленного внутреннего разложения (2.20) и условия сращивания следует, что Учитывая это и подставляя внешнее трехчленное разложение (2.10) в уравнение (2.11), можно убедиться, что задача для определения функции будет полностью аналогична задаче для определения Следовательно, явный вид функции и ее асимптотика будут совпадать с точностью до постоянного множителя с видом и асимптотикой Далее, используя условие сращивания и стандартную процедуру получения уравнений для последующих членов разложений, можно найти также, что функция совпадает с с точностью до постоянного множителя, а функции удовлетворяют одному и тому же уравнению

и одинаковым граничным условиям на поверхности частицы

В соответствии со сказанным решение во внешней области можно представить в следующей форме:

где произвольные константы, функция определена формулой (2.13). Решение во внутренней

области будет иметь вид

Каждый из членов ряда (2.25) приводит к появлению слагаемого того же порядка в выражении для числа Шервуда. При этом оказывается, что значения этих слагаемых могут быть установлены без знания явного вида функций . Рассмотрим наряду с и средние значения этих функций на сфере произвольного радиуса определенные по формуле

где поверхность сферы радиуса Отметим, что в силу сферической симметрии функций определенное по (2.26) среднее значение этих функций совпадает с самими функциями.

Интегрируя уравнения (2.22) по сфере радиуса и учитывая равенство которое является следствием уравнения неразрывности и условия непротекания жидкости через поверхность сферы получаем следующие уравнения для средних значений

Общее решение уравнения (2.27) имеет вид

где произвольные константы.

Усредняя (2.25) и используя (2.28), для средней концентрации во внутренней области получаем

Сращивая (2.29) с осредненной по правилу (2.26) асимптотикой распределения концентрации ко внешней области (2.24) при последовательно найдем следующие

соотношения для констант (учитывая представление

Оставшиеся неизвестными постоянные определяются из граничного условия на поверхности частицы (2.8) и имеют вид

Используя формулы (2.29) — (2.31), получаем следующее окончательное выражение для среднего значения концентрации во внутренней области:

Из (2.32) для среднего числа Шервуда находим

Формула (2.33) была получена в работе [79]; она устанавливает аналитическую зависимость среднего числа Шервуда от числа Пекле, кинетического параметра и константы а, характеризующей простой сдвиговый поток. В предельном случае диффузионного режима реакции на поверхности сферы выражение (2.33) переходит в результаты [112] и дает, в частности, выражение для среднего числа Нуссельта для частицы с постоянной температурой на поверхности:

В формуле (2.34) использована более краткая форма записи ряда (2.33).

Из проведенного выше рассмотрения следует, что в задаче о массообмене частицы с простым сдвиговым потоком конкретный вид стоксова распределения поля скоростей вблизи частицы при построении приближенного решения с точностью до членов оказывается несущественным. В этом приближении используются лишь

сведения о поле скоростей невозмущенного потока и порядке величины возмущения скорости на больших расстояниях от частицы.

Определение главного и трех последующих членов в приближенной асимптотической формуле для числа Шервуда (2.33) в значительной мере основано на использовании решения задачи о поле концентрации точечного источника единичной интенсивности, находящегося в сдвиговом потоке. Асимптотика этого решения при с учетом условия сращивания (1.8) задает граничные условия на бесконечности для распределения концентрации во внутренней области и, в конечном счете, после перехода к поверхностным средним величинам, определяет явное выражение для числа Шервуда.

Указанные свойства и процедура решения сохраняют силу и в общем случае массообмена сферической частицы с произвольным однородным линейным сдвиговым потоком, распределение скоростей которого вдали от частицы имеет вид (2.1).

Процедура построения решения в виде внутреннего и внешнего разложений остается прежней. Более сложный вид тензора сдвига проявляется при определении явного вида функций , с точностью до постоянных множителей совпадающих с решением задачи об установившемся поле концентрации точечного источника, находящегося в произвольном линейном сдвиговом потоке. Формулировка этой задачи имеет вид

В общем случае фундаментальное решение уравнения (2.35) (удовлетворяющее условию при может быть записано в виде интегральной формулы, позволяющей провести исследование его асимптотики, необходимой для проведения сращивания с решением во внутренней области. При получении решения весьма полезной оказывается его интерпретация как установившегося решения нестационарной задачи о поле концентрации точечного источника единичной интенсивности, включенного в начале координат в начальный момент времени [116].

Используя указанную аналогию и метод трехмерного преобразования Фурье по пространственным координатам можно получить явное выражение для функции

в следующем виде [1161:

Здесь алгебраические дополнения матричных элементов которые определяются путем решения системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, зависящими от компонент тензора сдвига

( символ Кронекера).

Выражение (2.36) может быть представлено в другой форме, более удобной для исследования его асимптотического поведения:

С учетом начальных условий в (2.37), следствием которых является предельное свойство из формулы (2.38) при можно получить [116]

где параметр зависящий от типа сдвигового течения и характеризующий интенсивность массообмена частицы со средой, определяется формулой

Соотношения (2.39), (2.40) обобщают на случай произвольного линейного сдвига полученные ранее формулы (2.14) для простого сдвига.

В общем случае обтекания сферической частицы произвольным линейным сдвиговым потоком (2.1), повторяя рассуждения, использованные ранее при анализе массообмена сферы с простым сдвиговым потоком, можно показать, что распределение концентрации во внешней области задается формулами (2.24), (2.36), а распределение средней концентрации во внутренней области и среднее число Шервуда определяются выражениями (2.32) и (2.33), где коэффициент а вычисляется по формуле (2.40). Отметим, что в случае диффузионного режима реакции на поверхности сферы двучленное разложение среднего числа Шервуда по малому параметру было получено в [116], а четырехчленное разложение (2.33), (2.40) — в [112].

В общем случае при заданных значениях элементов матрицы коэффициентов сдвига определяющих тип линейного сдвигового обтекания частицы, формулы (2.37), (2.38), (2.40) позволяют рассчитать величину а путем решения системы дифференциальных уравнений последующего вычисления интеграла (2.40), а затем по формуле (2.33) определить среднее число Шервуда.

Следует отметить, что величина параметра а не меняется при изменении знаков всех элементов матрицы сдвига на обратные, т. е. а

Рассмотрим теперь конкретные примеры вычисления фигурирующего в формуле для среднего числа Шервуда (2.33) параметра а для некоторых типов сдвиговых течений, представляющих практический интерес. Прежде всего нетрудно убедиться, что в частном случае простого сдвига (2.1), (2.2) решение системы (2.37) имеет вид и формула (2.40) для параметра а переходит в (2.14).

Деформационный сдвиговый поток. Другим, не менее важным случаем обтекания является деформационный (без вращения) линейный сдвиговый поток, характеризующийся симметричным тензором сдвига В системе координат, связанной с главными осями тензора сдвига, имеем

где диагональные элементы определяют интенсивности деформации растяжения-сжатия потока вдоль осей координат. В соответствии с условием несжимаемости жидкости в этом случае только два диагональных элемента из

трех будут независимы: Из уравнений (2.37) можно найти

Подставляя (2.41) в интеграл (2.40), для параметра а получаем следующее выражение:

В общем случае произвольных значение а находится путем численного интегрирования в (2.42).

Для плоского двумерного деформационного потока с растяжением-сжатием вида

из формулы (2.42) можно получить

Для осесимметричного потока с растяжением-сжатием, которое задается соотношениями

распределение скоростей жидкости вне сферы в стоксовом приближении было получено Эйнштейном и определяется функцией тока (3.1) гл. 3. Используя выражения (2.42), (2.45), в этом случае для параметра а можно получить

В работе [116] предложена следующая простая приближенная формула, позволяющая определять параметр а для произвольного деформационного течения, т. е. при

Здесь по обоим индексам ведется суммирование. В системе координат, связанной с главными осями тензора сдвига, в (2.47) следует положить

Можно убедиться, что в случаях (2.43), (2.45) приближенная формула (2.47) приводит к точным соотношениям (2.44) и (2.46).

Плоский сдвиговый поток. Рассмотрим еще один важный случай плоского сдвига со следующими значениями матричных элементов тензора сдвига:

Для удобства интерпретации соотношение (2.48) можно представить в следующем эквивалентном виде:

где параметр характеризует деформацию потока, а параметр вращение. Значению соответствует вращение потока как твердого тела, а значению растяжение-сжатие. Для простого сдвига (2.2), рассмотренного ранее,

В работе [116] показано, что зависимость величины а от определяется интегралом

Из формулы (2.50) видно, что в случае вращения имеем а так что, как и следовало ожидать, среднее число Шервуда согласно формуле (2.33) будет в этом случае при любых числах Пекле совпадать с числом Шервуда для покоящейся сферы в неподвижной среде.

При слабых деформациях потока из формулы (2.50) имеем Максимальное значение коэффициента достигается при значении соответствующем деформационному течению.

При промежуточных значениях параметра зависимость показана сплошной линией на рис. 6.3; она получена численным интегрированием выражения (2.50), выполненным в [122]. Штриховая линия на рис. 6.3 соответствует деформационной части сдвигового течения

(2.48), которая характеризуется тем, что в (2.49). Видно, что при вычислении среднего числа Шервуда нельзя пренебрегать вращательной частью сдвигового течения, которая при приводит к существенному снижению интенсивности массообмена частицы со средой.

Рис. 6.3. Зависимость коэффициента а от параметра в случае деформационно-вращательного течения (сплошная линия) и деформационного течения (штриховая линия).

Например, при пренебрежение вращательной составляющей потока дает более чем в семь раз увеличенное значение параметра а, что согласно формуле (2.33) для фиксированного значения числа Шервуда соответствует значениям числа Пекле, уменьшенным более чем в два с половиной раза.