§ 2. Локальный и полный диффузионные потоки вещества на поверхность сферы. Учет сил инерции

Безразмерные диффузионные локальный и полный потоки вещества на поверхность сферы и число Шервуда определим по стандартным формулам (гл. 1, формулы (5.1), (5.2)).

Локальный диффузионный ноток на поверхность сферы из области диффузионного пограничного слоя в главном приближении по параметру определяется при помощи формулы (1.16) и равен

Для локального диффузионного потока в окрестности задней критической точки можно получить выражение

где величина определяется из решения задачи (1.27), (1.28), (1.33) путем численного интегрирования [160, 181], причем

Видно, что локальный диффузионный поток в задней критической точке имеет порядок единицы, однако вкладом решения в области в полный диффузионный поток на частицу можно пренебречь по сравнению с вкладом решения в области Действительно, в области локальный поток (2.1) имеет порядок а площадь части поверхности сферы, ограничивающей область имеет порядок, равный единице. В то же время в области локальный поток (2.2) будет порядка единицы, а соответствующая площадь — порядка Поэтому суммарный диффузионный поток из пограничного слоя много больше суммарного потока из области задней критической точки

Учитывая эти оценки, используя выражение (2.1), а также результаты [114] для второго члена асимптотического разложения концентрации в диффузионном пограничном слое по параметру в, получаем следующую формулу для среднего числа Шервуда:

Первый член этого разложения был впервые получен в работе [60], второй (путем численного интегрирования) — в [114].

Займемся теперь обобщением результатов на случай влияния сил инерции. Обобщение результатов, полученных выше для стоксова обтекания сферы поступательным потоком, на случай не исчезающе малых чисел Рейнольдса (приближенный учет инерционных членов) может быть достигнуто путем использования в уравнении конвективной диффузии (1.1) вместо функции тока (1.3) более общего выражения [95], представляющего собой двучленное разложение функции тока по числу Рейнольдса:

Здесь — функция тока Стокса (1.3).

Следуя методу, описанному в § 1, и вводя переменные

где

можно установить, что в случае обтекания сферы с функцией тока (2.5) распределение концентрации в диффузионном пограничном слое дается решением задачи (1.13) — (1.15) и определяется формулой (1.16). Функция к) выражается через эллиптические интегралы первого и второго рода:

Для локального и полного диффузионных потоков можно получить

где

Здесь полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно, локальный диффузионный поток и число Шервуда в случае стоксова обтекания сферы определяемые первым членом в (2.1), (2.4). Соотношения (2.7), (2.8) были впервые получены в работе [27] и несколько позднее — в [2].

Изменение вида функции в выражении (2.8) при обусловлено тем, что, как следует из двучленной формулы (2.5), при позади сферы образуется область с замкнутой циркуляцией — стационарный присоединенный вихрь, размеры которого увеличиваются при увеличении числа Рейнольдса. Поэтому формулы (2.7) имеют смысл лишь при где при

Рис. 3.2. Зависимосш локального диффузионного потока на поверхность сферы и среднего числа Шервуда от числа Рейнольдса.

При вычислении полного потока на сферу при область углов не учитывалась.

На рис. 3.2 показаны найденные по формулам (2.8) зависимости локального диффузионного потока на поверхность сферы и числа Шервуда от числа Рейнольдса

Из формулы (2.7) и рис. 3.2 видно, что на большей части поверхности поток увеличивается с ростом числа Рейнольдса, а в областях, близких к кормовой части поверхности сферы, уменьшается; в частности, при на границе стационарного вихря локальный поток обращается в нуль. Полный поток и число Шервуда с ростом монотонно возрастают, причем этот прирост является значительным и достигает 14% даже при

Следует отметить, что использование двучленного разложения функции тока по числу Рейнольдса (2.5) при является формальной экстраполяцией двучленного приближения функции тока, полученного путем использования метода сращиваемых асимптотических разложений по малому параметру на значения числа Рейнольдса, существенно выходящие за пределы применимости указанного метода. Возможность такой экстраполяции, как и в случае задачи о массообмене капли, основывается на

сопоставлении поля скоростей (2.5) с имеющимися отдельными результатами численного расчета поля скоростей обтекания капли и частицы.

Пример численного расчета массообмена частицы с потоком в приближении диффузионного пограничного слоя при конечных числах Рейнольдса можно найти в работе [19]. В этой работе в качестве данных о поле скоростей в окрестности сферы при использовались результаты численного интегрирования задачи об обтекании сферы ламинарным потоком [145]. На основе обработки численных данных о притоке вещества к поверхности сферы в [19] была предложена простая аппроксимационная формула для расчета среднего числа Шервуда

дающая хорошие результаты в диапазоне Число Шервуда определено первым членом разложения (2.4). Результаты расчета интегрального потока по приближенной формуле (2.9) показаны на рис. 3.2 штриховой линией.