§ 3. Сферическая частица в потоке с градиентом скорости. Деформационное течение

Рассмотрим теперь стационарную диффузию вещества к поверхности сферы при деформационном обтекании [29].

В сферической системе координат в стоксовом приближении поле скоростей обтекания сферы, удовлетворяющее граничным условиям прилипания на поверхности сферы и переходящее в однородное деформационное течение (формула (6.1) гл. 1) вдали от нее, определяется функцией тока, выражение для которой

следует из формулы (6.2) гл. 1 при

Поле течения (3.1), как и в случае капли, симметрично относительно плоскости и характеризуется двумя изолированными критическими точками (это точки стекания при и натекания при и одной крйтической линией (это линия натекания при и стекания при ).

Получим асимптотические выражения для распределения концентрации растворенного в жидкости вещества и диффузионного потока на сферу в поле деформационного течения в предположении, что на ее поверхности происходит полное поглощение вещества, концентрация которого постоянна вдали от частицы. Распределение концентрации вещества в потоке определяется решением задачи (1.1), (1.2), (3.1). Введем число Пекле и малый параметр по формуле Асимптотический анализ показывает, что в данном случае, как и для капли, в поле течения могут быть выделены характерные области с различными механизмами массопереноса. При диффузионный пограничный слой будет начинаться в окрестности критической линии, а при в окрестности критических точек.

Диффузионный пограничный слой. Локальный и полный диффузионные потоки на поверхность сферы. Введем растянутую координату и ограничимся главными членами разложения по малому параметру в; тогда из уравнения (1.1), граничных условий (1.2) и выражения для функции тока (3.1) в переменных Мизеса

получаем следующее уравнение и граничные условия для концентрации в пограничном слое:

Условие сращивания решения в диффузионном пограничном слое с решением во внешней области вблизи критической точки (линии) натекания дает

где

Введем переменные

где

Можно показать, что

где эллиптический интеграл второго рода.

Тогда уравнение и граничные условия (3.3), (3.4) могут быть приведены к виду (1.13) — (1.15). Поэтому распределение концентрации в диффузионном пограничном слое сферы в поле деформационного течения (3.1) определяется формулами (1.16), (3.5), (3.6). Отсюда следуют выражения для локального потока вещества на поверхность сферы и среднего числа Шервуда [29]:

Как и следовало ожидать по аналогии со случаем капли, значения числа Шервуда при и одинаковы, несмотря на существенное различие локальных диффузионных потоков как по максимальным значениям, так и по распределению по поверхности сферы.

На рис. 3.3 приведены нормированные распределения при (сплошные линии); штриховая линия соответствует случаю поступательного стоксова потока (2.1).

Отметим, что согласно экспериментальным данным [53, 54, 152] зависимость (3.8) при соответствующем выборе масштаба скорости может быть использована для определения среднего числа Шервуда в случае неподвижной сферической частицы в поле простого сдвига.

Диффузионный след. Исследование диффузионного следа при когда точки стекания являются изолированными критическими точками, аналогично случаю обтекания сферы поступательным потоком.

Рис. 3.3. Распределение локального диффузионного потока по поверхности сферы в случае осесимметричного деформационного течения.

Структура диффузионного следа, число и порядок характерных размеров соответствующих областей остаются теми же. При этом распределение концентрации в конвективно-погранслойной области и внутренней области диффузионного следа дается формулами

где

Распределение концентрации в области критических точек стекания определяется уравнением и граничными условиями (1.27), (1.28), (1.33), где

а в области смешения формулами (1.37), (3.9).

При диффузионный след состоит из двух характерных областей — окрестности линии стекания и непосредственно примыкающей к областям области смешения при этом конвективно-погранслойная и внутренняя области следа, как и в случае капли, отсутствуют (здесь в силу симметрии задачи относительно плоскости рассматривается лишь область где

В области введя переменные

и выделяя в уравнении (1.1) с учетом (3.1) главные члены разложения по малому параметру в, получаем следующую краевую задачу для определения поля концентрации (ср. с уравнениями (1.8), 1.27)):

Второе граничное условие есть условие симметрии задачи относительно плоскости третье получено из условия сращивания с решением в диффузионном пограничном слое, четвертое является следствием условия сращивания с решением в примыкающей к области смешения

К задаче, аналогичной (3.11), приводит исследование поля концентрации в окрестности линии стекания для кругового цилиндра. Решение этой задачи было получено численными методами в работе [160], согласно результатам которой для локального диффузионного потока имеем

где

Асимптотическое поведение концентрации в области при исследуется так же, как в случае капли, и определяется выражением

Наконец, в области при помощи метода, аналогичного использованному в случае капли, для распределения концентрации можно получить следующее выражение [73]:

где

Как следует из формулы (3.13), в случае основное изменение концентрации в области происходит на малых расстояниях от поверхности сферы. Сравнение с аналогичными результатами для жидкой капли (гл. 1, § 6) показывает, что диффузионный след капли в случае сдвигового потока при имеет протяженность порядка единицы и оказывается значительно интенсивнее, чем диффузионный след за твердой сферой, где его протяженность имеет порядок