§ 5. Массоперенос к частицам, взвешенным в турбулентном потоке

Применим полученные выше результаты анализа процесса массообмена частиц в потоке с градиентом скорости к расчету массопереноса к частицам, взвешенным в турбулентном потоке.

Суспензии, интенсивно перемешиваемые в смесительных аппаратах, широко используются в ряде технологических процессов для экстракции растворимого компонента твердой фазы, а также для проведения гетерогенно-каталитических реакций в реакторах с мешалками.

Примерами могут служить технологические процессы в гидрометаллургии (извлечение золота из руды в цианистый раствор, растворение серной кислотой алюминия, содержащегося в бокситах, и др.), в сахарном производстве, в процессах гидрирования жиров и т.д. Основной задачей расчета таких процессов является оценка скорости массопередачи к поверхности мелких частиц, обтекаемых жидкостью, движение которой определяется случайными пульсациями и характеризуется статистическими параметрами турбулентного потока.

Предполагаем, что определенное по скорости относительного движения частицы и жидкости число Рейнольдса мало, а число Пекле велико. Турбулентное движение жидкости, несущей взвешенные частицы, можно считать в среднем установившимся, хотя и не обязательно однородным, причем взвешенная частица последовательно попадает в различные участки поля течения, так что в среднем скорость обтекания частицы постоянна. Эти предположения справедливы для широкого класса систем, встречающихся на практике, в частности для суспензий в аппаратах с мешалками разных типов.,

Поле течения вблизи частицы. Как уже отмечалось во введении, скорость конвективного массопереноса к частицам, движущимся в потоке жидкости, определяется полем течения вблизи частицы, причем существенны лишь относительные скорости обтекания. Это поле течения обусловлено как движением частиц в жидкости под действием внешних сил, например силы тяжести, так и градиентами скорости, которые имеют место в невозмущенном потоке (в отсутствие частиц).

Для турбулентного потока статистические свойства тензора градиентов скорости, а также старших производных от скорости определяются микромасштабными характеристиками турбулентности и описываются, согласно теории Колмогорова [55], двумя размерными параметрами: коэффициентом кинематической вязкости жидкости и средней локальной скоростью диссипации энергии 6. Отношение членов, содержащих вторые производные от скорости обтекания, к членам, пропорциональным градиентам скоростей, в разложении поля скоростей вблизи частицы в ряд Тейлора будет порядка или где а — радиус частицы, мера средней локальной скорости растяжения-сжатия, характеризующая поле турбулентного течения [13]. Величина представляет собой число

Рейяольдса частицы в ноле чисто деформационного течения (см. § 3). Таким образом, из предположения о малости числа Рейнольдса следует, что размер частицы мал по сравнению с размерами самых мелких вихрей, характерное время мало по сравнению с временным масштабом последних, и скорость жидкости относительно частицы можно аппроксимировать линейной функцией пространственных координат, т. е. считать градиенты скорости турбулентного обтекания частицы не зависящими от координат функциями времени [117].

Далее, тензор градиентов скорости (в размерной форме) можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров, причем последний характеризует вращение жидкости как твердого тела с угловой скоростью, равной половине вектора вихря. Свободно взвешенная в жидкости сферическая частица будет стремиться прийти во вращение с такой же угловой скоростью. Благодаря инерции частицы скорость ее вращения будет подстраиваться к скорости вращения жидкости с временем релаксации, равным произведению отношения плотностей частицы и среды на характерное время Однако, как было отмечено выше, при малых числах Рейнольдса, рассчитанных по радиусу частицы и скорости ее относительного движения, величина мала по сравнению с временным масштабом мелких вихрей, а для взвесей частиц в капельных жидкостях отношение плотностей частиц и среды будет порядка единицы. Отсюда следует, что время релаксации много меньше временного масштаба мелких вихрей, т. е. скорость вращения частицы можно считать всегда совпадающей с локальной скоростью вращения жидкости.

Таким образом, в случае частицы, взвешенной в турбулентном потоке, при весьма общих предположениях скорость жидкости в системе координат, связанной с центром частицы, можно представить в видз [117]

где — скорость поступательного потока скорость поступательного движения частицы относительно жидкости), вносимые частицей возмущения скорости поступательного потока и деформационного течения соответственно. Подчеркнем, что здесь параметры течения зависят от времени.

Вращение частицы приводит к некоторому подавлению конвективного переноса растворенного вещества к ее

поверхности, поскольку благодаря тенденции к замыканию траекторий жидких элементов затрудняется подвод необедненного раствора. При ненулевой завихренности невозмущенного потока жидкости траектории элементов жидкости вблизи поверхности частицы представляют собой слегка деформированные винтовые линии с малым шагом. В результате этого конвективный перенос, обусловленный некоторыми компонентами тензора подавляется. Действительно, представим общее деформационное течение, описываемое тензором в виде суперпозиции осесимметричного растяжения-сжатия, в котором ось симметрии направлена вдоль вектора вихря, и другого деформационного течения с нулевой скоростью растяжения по направлению вектора вихря. Можно заключить, что только первая из указанных составляющих течения приводит к тому, что элементы жидкости приближаются к поверхности частицы, а затем удаляются от нее, давая основной вклад (в главном приближении но числу Пекле) в скорость массопереноса. Аналогичные рассуждения показывают, что в случае, когда невозмущенное поле течения представляет собой суперпозицию поступательного потока и вращения жидкости как твердого тела, основной вклад в скорость массопереноса дает составляющая скорости потока, направленная вдоль вектора вихря.

Отмеченные выше особенности структуры поля течения вблизи частицы, играющие важную роль при исследовании процесса массопереноса, были установлены Бэтчелором сначала для случаев стационарного [116], а затем и нестационарного [117] поля течения. Согласно этим результатам процесс массопереноса к частице, взвешенной в турбулентном потоке, в главном приближении по числу Пекле полностью определяется полем течения, представляющим собой суперпозицию поступательного потока со скоростью в направлении вектора вихря со и деформационного осесимметричного течения со скоростью осевого раотяжения (сжатия), равной в том же направлении (угловые скобки означают усреднение по промежутку времени порядка Таким образом, задача о массопереносе к частице, взвешенной в турбулентном потоке, сводится к рассмотренной в § 4 задаче о диффузии к частице в поступательно-сдвиговом потоке, параметры которого

Теперь необходимо связать параметры со свойствами турбулентности, а параметр также и с относительной разностью плотностей частицы и жидкости. Локальная завихренность турбулентного потока обусловлена в основном мелкими вихрями, и статистическое распределение вектора со изотропно. Отсюда можно сделать вывод [117], что в главном приближении по числу Пекле скорость массопереноса не зависит от относительной разности плотностей частицы и жидкости. Величина является параметром турбулентного потока, не зависящим от физических свойств взвешенных частиц, и широко используется в теории турбулентности как средняя скорость растяжения вихревых линий. Можно показать [13], что для локально однородной и изотропной турбулентности где параметр 5, согласно теории А. Н. Колмогорова [55], является универсальной постоянной турбулентного движения при больших числах Рейнольдса определяемых по среднеквадратичной скорости турбулентных пульсаций и масштабу длины На основании экспериментальных данных, полученных в широком диапазоне значений можно принять тогда

Число Шервуда. Сравнение с экспериментом. Для определения поля концентрации вблизи сферической частицы, взвешенной в турбулентном потоке, и числа Шервуда теперь достаточно воспользоваться результатами § 3, в которых под величиной характеризующей интенсивность осевого растяжения (сжатия) в деформационном течении, следует подразумевать среднюю скорость растяжения вихревых линий определяемую через локальную скорость диссипации энергии по формуле (5.1). Выражение (3.8) для числа Шервуда принимает вид [117]

Соотношение (5.2) получено в предположении, что число Пекле деформационного течения велико, а число Рейнольдса мало, причем

Заметим, однако, что в предельном случае массо-перенос к частице определяется только молекулярной диффузией, как в покоящейся жидкости, и в этом случае число Шервуда равно единице (см. гл. 6, где исследуется диффузия при малых числах Пекле). Поэтому можно предложить следующую интерполяционную формулу:

которая соответствует асимптотическим значениям числа Шервуда в обоих предельных случаях здесь число Шмидта.

Рис. 3.6. Сравнение среднего числа Шервуда, рассчитанного по формуле (5.4) (сплошная линия), с экспериментальными данными при разных числах Рейнольдса и Шмидта [117]. Штриховая линия соответствует эмпирической зависимости, предложенной в работе [155]. Точками представлены экспериментальные данные [142]: 1 — ионообмен в воде ионообмен в 0,21% растворе метилцеллюлозы 3 — ионообмен в 0,35% растворе метилцеллюлозы 4 — ионообмен в глицерине бензойная кислота в воде

Интерполяционные формулы такого типа для других условий массопереноса к частице приводятся в гл. 6.

Для практических расчетов по формуле (5.4) необходимо в каждом конкретном случае оценить среднюю локальную скорость диссипации энергии турбулентного течения, фигурирующую в определении чисел Пекле и Рейнольдса (5.3). Подчеркнем, что турбулентность не обязана быть однородной, достаточно лишь, чтобы твердая частица проходила по всем участкам рассматриваемого объема суспензии примерно с одинаковым временем пребывания в каждом участке. Например, в широко распространенных на практике смесительных аппаратах с

мешалками турбулентность неоднородна, однако вследствие интенсивного крупномасштабного движения частиц указанное выше условие приближенно выполняется. В этом случае величину можно принять равной полной энергии, подводимой к мешалке, отнесенной ко всему объему жидкости в аппарате.

На рис. 3.6 показан результат сравнения величины рассчитанной по формуле (5.4) (сплошная линия), с экспериментальными данными по массопереносу к частицам, взвешенным в аппаратах с мешалками, при разных числах Рейнольдса и Шмидта Штриховая линия соответствует эмпирической зависимости, предложенной Левинсом и Гластонбери [155] на основании собственных экспериментов, точками представлены экспериментальные данные Харриотта [142]. Видно, что, несмотря на сделанное при выводе зависимости (5.4) предположение о малости чисел Рейнольдса, она хорошо согласуется с экспериментальными данными вплоть до значений а при дает слегка заниженный результат, как это и следовало ожидать, по аналогии с данными по влиянию числа Рейнольдса на массообмен частицы с поступательным потоком (§ 2). Таким образом, зависимость (5.4) можно рекомендовать для практических расчетов скорости массопереноса к частицам, взвешенным в турбулентном потоке жидкости, в широком диапазоне чисел Пекле и Рейнольдса.