§ 6. Диффузия к круговому цилиндру в поступательном потоке

Рассмотрим плоскую задачу о стационарной диффузии при больших числах Пекле к поверхности кругового цилиндра, обтекаемого нормальным к его оси поступательным потоком при полном поглощении растворенного в потоке вещества на поверхности цилиндра и постоянной концентрации вдали от него. Эта задача является модельной в химической технологии для расчета массопереноса к реагирующим частицам удлиненной формы, но особенно широко она используется в механике аэрозолей при анализе процесса диффузионного осаждения аэрозолей на волокнах фильтра [105, 108]. Такая модель эффективно применяется также при исследовании ряда биологических процессов, например при оценке собирательной способности антенн самца бабочки тутового шелкопряда при улавливании молекул бомбикола — полового

аттрактанта, испускаемого самкой, на очень больших (до километра) расстояниях [65, 180].

Безразмерное уравнение диффузии при наличии конвективного переноса вещества и граничные условия в полярной системе координат связанной с осью цилиндра, имеют вид

Угол отсчитывается от направления потока на бесконечности, в качестве масштабов длины и концентрации выбраны радиус цилиндра а и величина концентрации вдали от него, масштаб скорости будем выбирать по-разному в каждом конкретном случае обтекания; модифицированное (с учетом выбора масштаба U) число Пекле.

Рассмотрим сначала обтекание цилиндра при малых числах Рейнольдса скорость потока на бесконечности). В этом случае удобно в качестве масштаба скорости принять величину

где постоянная Эйлера. Тогда выражение для безразмерной функции тока вблизи поверхности цилиндра (при можно записать в виде (см., например, [105, 108])

При малых поле концентрации можно построить, решая задачу (6.1), (6.2) методом сращиваемых асимптотических разложений, аналогичным использованному в § 1. Ограничимся здесь исследованием решения в области диффузионного пограничного слоя Введя растянутую координату для старшего члена разложения функции тока (6.4) по в и получаем

Перейдем, как обычно, в уравнении (6.1) к переменным Мизеса 0. В главном приближении до с учетом

соотношений (6.5) и преобразований

получим следующее уравнение для концентрации в диффузионном пограничном слое (индекс опускаем):

В переменных

это уравнение принимает вид

Граничные условия следуют из условия полного поглощения растворенного вещества на поверхности цилиндра (первое условие (6.2)), условия сращивания с решением во внешней области (при и условия в передней критической точке, соответствующего сращиванию с решением во внешней области вдоль луча (т. е. вдоль траектории натекания), и записываются в форме

Задача (6.6), (6.7) совпадает с рассмотренной выше задачей (1.13) — (1.15), поэтому можно сразу записать ее автомодельное решение, выраженное через неполную гамма-функцию в виде (1.16). В исходных полярных координатах получим

(Фигурирующий здесь интеграл может быть выражен через эллиптические интегралы первого и второго рода.)

Безразмерные локальный и интегральный потоки вещества на поверхность цилиндра, отнесенные к его длине,

и число Шервуда определим по формулам

Используя соотношение (6.8), для локального диффузионного потока на поверхность цилиндра (за исключением окрестности задней критической точки) получим

Локальный диффузионный поток на поверхность цилиндра в окрестности задней критической точки, согласно вычислениям [160], с точностью до постоянного множителя определяется формулой (2.3).

Как и следовало ожидать по аналогии с процессом массоцереноса к сфере, вклад окрестности задней критической точки в полный диффузионный поток на поверхность цилиндра несуществен, и им можно пренебречь, рассматривая разложение полного потока по малому параметру с точностью до члена порядка

В главном приближении по среднее число Шервуда находится непосредственно по формулам (6.9), (6.10) и имеет вид

При вычислении использовано значение интеграла

Выражение (6.11) было получено в [67, 134]. Следующий член (порядка единицы) разложения в ряд по был

вычислен в [100]. Приведем двучленное разложение числа Шервуда:

Массонеренос к цилиндру при больших числах Рейнольдса рассматривался в работе [115] на основании одной из моделей ламинарного пограничного слоя с отрывом при Для числа Шервуда, характеризующего диффузионный поток на часть поверхности цилиндра до точек отрыва, получено выражение

При безотрывном потенциальном обтекании цилиндра поступательным потоком идеальной жидкости в соответствии с известным решением Буссинеска