§ 7. Массообмен цепочки твердых частиц с потоком

Как и в случае массообмена капли, большой интерес для практики представляет расчет массообмена частиц с потоком в условиях, когда в системе имеется много частиц и при исследовании движения и массообмена частиц с потоком каждая из них не может рассматриваться как одиночная, находящаяся в потоке с постоянной концентрацией и однородным распределением скорости на бесконечности. Как уже отмечалось, взаимное влияние частиц проявляется в появлении обусловленных присутствием других частиц возмущений распределений скорости и концентрации около каждой частицы. В системе многих частиц, где даже установившееся движение часто оказывается локально нестационарным, при решении задачи о движении и массотеплообмене целесообразным является переход к средним величинам; примеры такого перехода можно найти, например, в работах [68, 167]. При этом весьма важным является исследование упрощенных модельных задач, решения которых играют определяющую роль при проведении усреднения. К таким задачам наряду с рассмотренными выше задачами о массотеплообмене одиночных частиц различной формы при различных законах обтекания относятся также модельные задачи о массообмене простых систем частиц, состоящих из двух и более частиц. Получение решений задач о массотеплообмене совокупности частиц существенно опирается на знание обтекания таких конфигураций частиц и на возможность считать его стационарным хотя бы на отрезках времени, достаточных для установления процессов

тепломассообмена. При всей условности подобных постановок задач, решения которых могут быть непосредственно использованы лишь при описании массообмена в системах с упорядоченным расположением частиц, их анализ позволяет выявить некоторые важные закономерности процесса тепломассообмена в системе частиц, которые оказываются вне поля зрения при рассмотрении дисперсной системы как набора одиночных частиц, находящихся в однородном потоке со средними постоянными значениями скорости и концентрации.

В данном параграфе приводятся результаты решения некоторых модельных задач об установившемся массотеплообмене в системе двух и более осесимметричных реагирующих частиц, расположенных друг за другом на оси поступательного на бесконечности потока. Как и ранее, обтекание частиц предполагается известным (см., например, [107, 135, 140]) и таким, что в потоке отсутствуют области с замкнутыми линиями тока. Приводятся лишь окончательные результаты, в основном касающиеся формул для расчета интенсивности массообмена каждой частицы и совокупности частиц в целом, поскольку ход приводящих к этим результатам рассуждений и выкладок в значительной мере аналогичен изложенному в разделе гл. 2, посвященном массообмену цепочки капель. При изложении используются результаты работ [32, 75, 137].

Рассмотрим стационарную диффузию растворенного в потоке вещества к поверхностям нескольких осесимметричных частиц, расположенных одна за другой на оси ламинарного поступательного потока вязкой несжимаемой жидкости. Для каждой частицы введем сферическую систему координат в которой уравнение поверхности частицы в безразмерной форме имеет вид

Вблизи каждой частицы функция тока обладает следующими свойствами:

Как уже отмечалось, свойство (7.1) следует из условия прилипания на поверхности частицы, а свойство (7.2) является следствием осесимметричности задачи.

Распределение концентрации в потоке жидкости определяется решением уравнения стационарной

конвективной диффузии с граничными условиями постоянства концентрации вдали от частиц и полного поглощения на поверхностях.

Так как число Пекле по-прежнему считается большим, то, следуя гл. 3 при асимптотическом анализе поля концентрации в окрестности каждой частицы (например, частицы с номером можно выделить семь областей с различными маханизмами массопереноса: внешнюю область где концентрация равна своему значению на бесконечности, область передней критической точки и область задней критической точки вклад которых в полный диффузионный поток на поверхность частицы несуществен; область диффузионного пограничного слоя конвективно-погранслойную область диффузионного следа в которой отсутствует диффузия и концентрация вдоль линий тока сохраняет постоянные значения, равные значениям на выходе из диффузионного пограничного слоя, внутреннюю область диффузионного следа и область смешения в которых конвективный перенос вещества потоком и поперечная диффузия играют основную роль в механизме массообмена. В области происходит постепенное увеличение концентрации до ее необедненного значения в однородном потоке.

При осесимметричном обтекании цепочки частиц линия тока, вышедшая из задней критической точки частицы, расположенной выше по; потоку, попадает в переднюю критическую точку следующей частицы. Следовательно, при определении поля концентрации в окрестности частицы необходимо учесть ослабляющее влияние на ее массообмен диффузионного следа частицы в котором концентрация существенно меньше необедненной. Поэтому расчет диффузионного притока вещества к поверхности каждой из частиц в цепочке должен проводиться последовательно, начиная с первой частицы. Если при расчете полного диффузионного потока на цепочку частиц ограничиться нахождением главного члена в разложении по степеням то достаточно получить распределение концентрации в диффузионном пограничном слое каждой частицы методом, аналогичным описанному в § 1.

При этом условие для концентрации в потоке, поступающем в диффузионный пограничный слой каждой частицы (условие натекания), зависит от ее положения и устанавливается из решения задачи о диффузии к частицам,

расположенным выше по потоку. В зависимости от расстояния между частицами при выводе этого условия следует произвести сращивание решений в областяхпередней критической точки и диффузионного пограничного слоя частицы с решениями в областях диффузионного следа или предыдущей частицы.

Схематически разбиение поля концентрации в потоке на области с различным асимптотическим поведением решений для двух частиц в цепочке показано на рис. 4.9.

Рис. 4.9. Схема разбиения поля концентрации на области с различной структурой асимптотических решений в случае двух частиц при условии:

Рисунок 4.9, а соответствует случаю, когда безразмерное расстояние между частицами удовлетворяет условию а рис. 4.9, б — случаю Как и в случае капель, на рисунке использованы переменные

При анализе задачи о массообмене переход от капель к частицам приводит к изменению асимптотических границ зон с различными механизмами массопереноса и вида приближенных уравнений, описывающих массообмен в каждой из зон. Характер этих изменений устанавливается из сравнения результатов §§ 2, 3 гл. 1 и § 1 гл. 3, а также рис. 2.6 и 4.9.

Следует отметить, что в рассматриваемом приближении протяженность диффузионного следа за частицей, так же как и за каплей, существенно больше характерной длины гидродинамического взаимодействия соседних частиц между собой. Поэтому при расчете массообмена частиц цепочки с потоком обтекание частиц во многих случаях можно считать независимым и в качестве функции тока использовать функцию тока обтекания уединенной частицы (для сферической частицы в стоксовом потоке — формула (1.3) гл. 3).

Приведем несколько формул для расчета массообмена цепочки частиц с потоком, полученных аналогично соответствующим формулам для капель в § 4 гл. 2.

Если расстояние между частицами удовлетворяет неравенству которое означает, что условие на входе в диффузионный пограничный слой каждой частицы (условие натекания) задается распределением концентрации в конвективно-погранслойной области диффузионного следа предыдущей частицы, то распределение концентрации в диффузионном пограничном слое частицы определяется решением следующей задачи [75,137]:

Это решение имеет вид

Локальный и интегральный диффузионные потоки на частицу даются выражениями

Здесь суммарный диффузионный поток на первые к частиц цепочки.

Когда расстояние между частицами удовлетворяет неравенству условие «натекания» на входе в диффузионный погранслой каждой частицы определяется распределением концентрации в области смешения диффузионного следа предыдущей частицы

В этом случае для концентрации с можно записать следующие рекуррентные формулы:

Здесь модифицированная функция Бесселя первого рода порядка

Для иллюстрации результатов рассмотрим цепочку сфер с безразмерными радиусами расположенных на расстояниях одна за другой на оси поступательного стоксова потока. В сферической системе координат, связанной с центром сферы, безразмерная функция тока вблизи ее поверхности может быть представлена в виде

Используя формулы (7.3) — (7.5), можно получить следующие выражения для локальных и полных диффузионных потоков на поверхности сфер:

Здесь — полный диффузионный поток на поверхность сферы единичного радиуса, обтекаемой поступательным стоксовым потоком.

Для цепочки сфер одинакового радиуса найдем

Из формулы для локального диффузионного потока (7.9) видно, что взаимодействие диффузионного пограничного слоя каждой сферы с диффузионным следом предыдущей частицы приводит к существенному уменьшению интенсивности массообмена и изменению распределения потока по поверхности по сравнению с изолированной сферой. Максимальная величина локального потока на поверхность каждой сферы оказывается равной

и достигается при значении полярного угла которое определяется следующим трансцендентным уравнением:

Видно, что угол задающий экстремальное значение локального диффузионного потока (7.11), монотонно уменьшается от величины (при определяющей переднюю критическую точку натекания сферы, до величины задающей экваториальное (миделево) сечение сферы; соответствующие углам максимумы локального диффузионного потока монотонно уменьшаются от своего предельного значения при до нуля при к При этом имеют место следующие асимптотические соотношения:

Из формулы (7.9) видно, что при к локальный диффузионный поток в передней критической точке сфер становится равным нулю. Это говорит о том, что при в лобовой части сферы происходит существенное снижение интенсивности массопереноса к ее поверхности ввиду уменьшения концентрации растворенного в жидкости вещества в области диффузионного следа предыдущей частицы за счет его поглощения на поверхностях впереди идущих частиц.

Рис. 4.10. Распределение локального диффузионного потока на поверхностях сфер; кривые 2, 2, 3 соответствуют первой, второй и третьей сферам цепочки.

В качестве иллюстрации этого эффекта на рис. 4.10 показано распределение нормированного локального диффузионного потока на поверхности первых трех сфер цепочки.

Из формулы (7.10) видно, что суммарный диффузионный поток ко всем частицам цепочки пропорционален числу частиц в цепочке в степени 2/3, что значительно меньше суммарного потока, вычисляемого без учета взаимодействия диффузионных следов и погранслоев частиц. С ростом порядкового номера сферы полный диффузионный поток на ее поверхность убывает по закону

Расположенные впереди по потоку частицы как бы экранируют последующие, в результате чего интегральный поток на их поверхности монотонно убывает: и стремится к нулю с ростом порядкового номера.

Из формулы (7.10) следует, что полный диффузионный поток на вторую сферу почти в два раза меньше полного диффузионного потока на первую, а на седьмую — уже более чем в три раза меньше, чем на первую. В соответствии с (7.10) среднее число Шервуда для всей цепочки, состоящей из сферических частиц одинакового радиуса, равно

Среднее число Шервуда для цепочки частиц может быть как угодно малым при достаточно большом числе сфер, что обусловлено торможением процесса массообмена в упорядоченных системах частиц.

Отметим, что диффузия вещества в потоке к поверхностям периодически расположенных в пространстве на (безразмерных) расстояниях друг от друга поглощающих сфер рассматривалась в работе [20]. Указанное ограничение на расстояние между сферами позволяет приближенно считать распределение концентрации в окрестности каждой сферы вне ее диффузионного пограничного слоя однородным, мало меняющимся на периоде решетки. Поэтому частицы могут быть представлены в виде точечных стоков растворенного в потоке вещества (такое представление соответствует второму члену разложения (первый равен единице) в выражении для распределения концентрации в области смешения диффузионного следа при