§ 3. Метод численного интегрирования уравнений для поверхностной концентрации и локального потока

В общем случае при нельзя получить точное аналитическое решение интегральных уравнений для поверхностной концентрации Поэтому приходится использовать методы численного или приближенного интегрирования этих уравнений.

На практике для приближенного определения поверхностной концентрации и локального диффузионного потока часто используют метод «локальной равнодоступной поверхности» [104]. Суть этого метода заключается в том, что сначала по формуле (2.4) определяется предельный локальный диффузионный поток потом это выражение подставляется в уравнения (2.10), (2.11), т. е. вместо исходных интегральных уравнений решаются алгебраические (или трансцендентные) уравнения (2.4), (2.10), (2.11).

Из сопоставления с результатами § 2 видно, что приближенные алгебраические уравнения (1.5), (2.4), (2.10), (2.11) правильно описывают асимптотическое поведение исходных интегральных уравнений (2.2) - (2.4), (2.7) при

к Кроме того, «метод равнодоступной поверхности» дает точные значения для поверхностной концентрации и локального диффузионного потока в передней и задней критических точках (в точках натекания и стекания) поверхности тела. В последнем нетрудно убедиться, если сравнить формулы (2.16) — (2.19) с решениями уравнений (2.4), (2.10), (2.11) при Уравнения (2.4), (2.10), (2.11) являются точными также в случае, когда предельный локальный диффузионный поток (2.9) постоянен на всей поверхности частицы, т. е. когда поверхность частицы является однородной — «равнодоступной» в диффузионном отношении. Последнее свойство уравнений (2.4), (2.10), (2.11) послужило причиной названия этого метода «методом локальной равнодоступной поверхности».

Сопоставление результатов численного решения точных интегральных и приближенных алгебраических (2.4), (2.10), (2.11) уравнений для целого ряда характерных случаев показало удовлетворительную точность метода «локальной равнодоступной поверхности» [104, 113, 125] (для сравнительно простых реакций ошибка, как правило, не превышала Довольно хорошее совпадение приближенного и точного решений не следует переоценивать, так как приближенные уравнения (2.4), (2.10), (2.11) значительно отличаются от точных работе приведен пример сложной химической реакции на поверхности плоской пластины, обтекаемой однородным поступательным потоком вязкой несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса, для которого ошибка метода «локальной равнодоступной поверхности» составляет более 100%.

Остановимся теперь на методе численного интегрирования уравнения для поверхностной концентрации (2.3), (2.4); локальный диффузионный поток при этом будет определяться из равенства (2.5).

Используем уравнение (2.3) в следующем виде:

Уравнение (3.1) является естественным обобщением результатов работы [113] на случай Присутствие здесь дополнительного по сравнению с члена в левой части уравнения (3.1) обусловлено отличием в обгцем случае концентрацвд в точке натекания

от невозмущенной концентрации в потоке вдали от частицы:

Из уравнения (3.1) можно определить степень превращения на поверхности Численное решение проводится аналогично в следующей последовательности. Вначале разобьем отрезок на равных интервалов длиной и приведем уравнение (3.1) к виду

Далее аппроксимируем производную на каждом интервале выражением

и интегрируем уравнение (3.2). После некоторых преобразований получаем

Алгебраическое уравнение (3.3) решается для относительно степени превращения на поверхности частицы при Левая часть уравнения (3.3) содержит значения для которые предварительно уже вычислены, в то время как правая часть уравнения содержит неизвестную величину Численное решение уравнения (3.3) начинается с предварительного определения величины поверхностной концентрации в точке зарождения диффузионного пограничного слоя путем решения вспомогательного уравнения (2.16); далее решение проводится последовательно при причем оно является прямым решением в том смысле, что не требует повторных расчетов. Точность расчетов, естественно, зависит от значения

В приведенном в работе методе численного интегрирования соответствующего интегрального уравнения при формулу в [113]) поверхностная концентрация в передней критической точке априорно предполагалась известной и равной невозмущенной концентрации вдали от частицы: Как уже отмечалось ранее в § 2, это предположение оправдывается лишь в одном частном случае, когда предельный локальный диффузионный поток в точке натекания обращается в бесконечность. В общем же случае значение следует определять путем решения алгебраического уравнения (2.16), которое в принципе может иметь несколько корней.

В случае плоской пластины, обтекаемой вязкой несжимаемой жидкостью при больших числах Рейнольдса, который приводился в качестве иллюстрации в для произвольного вида функции на передней кромке имеет место равенство Отсутствие влияния кинетики реакции на концентрацию в точке натекания в этом случае обусловлено двумя причинами: 1) непригодностью используемого в работе выражения для функции тока, полученного в приближении гидродинамического погранслоя в окрестности точки натекания; 2) неприменимостью приближения диффузионного погранслоя в окрестности передней критической точки пластины. Обе указанные причины имеют сходный характер и связаны с тем, что числа Рейнольдса

и Пекле

( координата, отсчитываемая вдоль по пластине) в окрестности передней критической точки пластины являются малыми.

Численное интегрирование уравнения для поверхностной койцентрации (3.1) по схеме (3.3) будет использовано далее для определения локальных и интегральных диффузионных потоков на поверхность реагирующих капель и частиц для некоторых характерных случаев, когда в передней критической точке выполняется условие и приближение диффузионного пограничного слоя является корректным.