§ 4. Тепломассообмен сферической частицы с потоком. Неизотермическая поверхностная химическая реакция

Обобщая результаты предыдущих разделов, рассмотрим перенос тепла и компонентов к теплопроводящей реагирующей сферической частице в потоке несжимаемого газа при протекании на ее поверхности неизотермической химической реакции, скорость которой произвольным образом зависит от температуры и концентраций реагирующих компонентов. По-прежнему предполагается, что концентрации реагентов достаточно малы, так что реакция не влияет на параметры потока и частицы; не учитывается также влияние термо- и бародиффузии и т. п. Ограничимся вдесь стоксовым приближением для поля скоростей.

Безразмерные уравнения диффузии и теплопроводности, а также граничные условия, выражающие постоянство температуры и концентраций вдали от частицы, непрерывность температуры, наличие химической реакции и баланс вещества и тепла на ее поверхности, а также ограниченность температуры в центре частицы, имеют

Здесь и концентрации участвующих в реакции веществ в потоке и на бесконечности, — температура потока и частицы, невозмущенная температура на бесконечности, диффузионные и тепловое числа Пекле, характерная скорость потока, коэффициент диффузии -компонента; величины определяются теплотой каждой реакции и стехиометрическими коэффициентами для -компонента; суммарная скорость поверхностной химической реакции по -компоненту если реагент потребляется в ходе химической реакции, и если он образуется в ходе реакции), число реагентов, участвующих в реакции.

При сохранении предположения о малости и одинаковом порядке величины всех чисел Пекле:

процедура получения приближенного асимптотического решения задачи (4.1) — (4.8) в основных чертах повторяет процедуру решения, подробно изложенную в §§ 1, 2. После разбиения всей области течения на внешнюю и внутреннюю, которые существенным образом зависят от типа

обтекания, и введения во внешней области соответствующих сжатых переменных соответствует поступательному потоку, сдвиговому) концентрации и температуры представляются в виде внешних и внутренних асимптотических разложений, аналогично тому, как это делалось раньше.

Для членов разложений одинакового порядка малости по числу Пекле уравнения (4.1), (4.2) во внутренней и внешней областях сведутся к более простым. При этом, поскольку взаимосвязь между концентрациями и температурой проявляется лишь в граничном условии на поверхности реагирующей частицы, вид этих уравнений и их общих решений будет совпадать с видом уравнений и решений, полученных в §§ 1, 2 в более простых задачах. После применения стандартного условия сращивания внешних и внутренних разложений число произвольных констант в решениях уменьшится. Оставшиеся неопределенными константы должны быть найдены из граничных условий (4.5) — (4.7), устанавливающих в общем случае нелинейные зависимости между концентрациями и температурой на поверхности частицы. Возможность аналитического определения констант из нелинейных граничных условий (4.6) связана с тем, что поправки к главному члену в асимптотических рядах являются малыми и, следовательно, граничные условия (4.6) могут быть линеаризованы. При этом задача об отыскании остающихся неизвестными произвольных констант сведется к решению трансцендентного (или алгебраического) уравнения для главного члена разложения, соответствующего величине концентрации и температуры на поверхности покоящейся частицы, и решению линейных уравнений для констант в последующих членах, учитывающих влияние обтекания. Очевидно, что, как и в рассмотренных ранее более простых задачах, используемый метод позволяет получить лишь несколько первых членов в представляющих решение разложениях, что связано, как правило, с нарастающими трудностями при переходе к отысканию членов ряда более высокого порядка малости. Не приводя уравнений и общего вида решений для последовательных членов асимптотических разложений концентраций и температуры в потоке, ограничимся получением соотношений для приближенного определения наиболее важных с практической точки зрения величин — интегральных характеристик массо- и теплообмена — чисел Щервуда для

каждого реагента и числа Нуссельта. Нахождение этих характеристик, так же как и в § 2, основывается на использовании усредненных величин и

Рассмотрим отдельно случаи поступательного и сдвигового потоков.

Поступательный поток [80, 164]. Распределение скорости в задаче (4.1) — (4.8) во внутренней и внешней областях определяется формулами (1.6) и (1.7) соответственно. Воспользовавшись результатами § 1, можно убедиться, что для осредненных по поверхности сферы постоянного радиуса значений концентрации и температуры оказывается возможным получить удовлетворяющее условию сращивания трехчленное разложение во внутренней области:

Здесь ) — произвольные константы, которые должны быть найдены из граничных условий на поверхности частицы.

Прежде чем перейти к определению этих констант, заметим, что в соответствии с видом решений для концентрации и температуры (4.9) числа Шервуда и Нуссельта представляются в виде

Используя (4.9), (4.10) и определения чисел Шервуда и Нуссельта, найдем

Соотношения (4.11) показывают, что определение констант из граничных условий полностью эквивалентно определению

вычисленных с различной точностью асимптотических значений чисел Шервуда и Нуссельта. С учетом равенств (4.11) выражения для могут быть представлены в форме

Здесь следует помнить, что выражения (4.12) содержат дополнительные по отношению к (4.9) члены, однако порядок этих членов выше так что с принятой точностью формулы (4.12) и (4.9) совпадают.

При осреднении граничных условий на поверхности частицы (4.5) — (4.7) учитывается, что: 1) для сферической частицы в случае поступательного потока первый член внутренних разложений концентраций и температуры зависит только от радиальной координаты (в случае сдвигового потока — два первых члена); 2) для любых функций зависящих только от справедливо равенство оператор осреднения (2.26) перестановочен с оператором дифференцирования по координате для любой функции справедливо равенство

которое доказывается непосредственной проверкой путем разложения его обеих частей в ряды по малым числам Пекле с учетом структуры разложений функций во внутренней области.

С точностью до членов порядка осредненные по поверхности частицы граничные условия (4.6), (4.7) могут быть записаны в виде

Принимая во внимание (4.12), вместо (4.13) можно записать систему уравнений

которая при известных зависимостях скоростей поверхностных реакций от концентраций и температуры позволяет в случае поступательного обтекания частицы рассчитать асимптотические значения чисел Шервуда и Нуссельта с точностью до членов порядка

Сдвиговый поток [81, 164]. В этом случае разбиение потока на внутреннюю и внешнюю области определяется неравенствами Используем решение задачи о поле концентрации точечного источника, находящегося в произвольном линейном сдвиговом потоке (2.36). По аналогии с результатами § 2 во внутренней области можно получить удовлетворяющие условию сращивания четырехчленные выражения для осредненных по поверхности сферы постоянного радиуса значений концентрации и температуры

Константы должны быть найдены из граничных условий на поверхности частицы; значение константы а определяется видом сдвигового потока (см. § 2).

Установив, как и в случае поступательного потока, соответствие между константами и вычисленными с различной точностью значениями чисел Шервуда и Нуссельта, а также представив граничные условия (4.6), (4.7) с точностью до членов порядка в форме (4.13), можно записать уравнения для определения асимптотических значений чисел Шервуда и Нуссельта в виде

Уравнения (4.14), (4.16) для приближенного, с точностью до членов порядка расчета чисел Шервуда

(Нусселъта) для реагирующей частицы, находящейся в поступательном или сдвиговом потоке, могут быть представлены в единой компактной форме, если заметить, что (как следует из результатов §§ 1,2) число Шервуда для частицы с поверхностной химической реакцией, протекающей в диффузионном режиме (бесконечная скорость химической реакции, к ), равно в поступательном потоке

а в сдвиговом потоке

(здесь

Тогда вместо (4.14), (4.16) можно записать [80,81,164]:

Здесь величина формально определяется формулами (4.17), (4.18) при и соответствует числу Нуссельта для частицы с постоянной температурой поверхности.

Таким образом, из анализа исходной системы уравнений в частных производных и граничных условий (4.1) — (4.8) установлено, что в случае заданной кинетики поверхностной химической реакции при обтекании сферической частицы поступательным или сдвиговым потоком при малых числах Пекле для приближенного определения интегральных притоков реагента и тепла к поверхности частицы с точностью до достаточно решить систему алгебраических (или трансцендентных) уравнений (4.19), (4.20).

Из (4.19), (4.20) видно, в частности, что отношение коэффициентов теплопроводности частицы и окружающей среды не влияет на интегральные характеристики процесса. Очевидно, что изменение величины этого отношения

(параметра в граничном условии (4.7)) может приводить лишь к перераспределению локальных теплового и диффузионных потоков по поверхности сферы при неизменности соответствующих полных потоков. Уравнения (4.19), (4.20) являются обобщением уравнений для расчета интенсивности тепломассообмена неподвижной частицы и переходят в них при Как и в случае массотеплообмена покоящейся реагирующей частицы, решение системы (4.19), (4.20) в общем случае может быть неединственным. Число решений соответствует числу стационарных режимов тепломассообмена реагирующей частицы с потоком. Среди этих режимов могут оказаться как устойчивые, так и неустойчивые.

Например, в случае неизотермической поверхностной химической реакции первого порядка, скорость которой зависит от температуры по закону Аррениуса система уравнений (4.19), (4.20) примет вид

где энергия активации, газовая постоянная. При различных значениях параметров к уравнения (4.21) для могут иметь одно, два или три решения.

В случае изотермической поверхностной химической реакции, скорость которой определяется функцией для числа Шервуда из (4.19) получаем уравнение

Для сферической частицы в поступательном потоке, разлагая функцию в ряд в окрестности значения где число Шервуда для частицы в покоящейся среде, определяемое как корень уравнения из (4.22) найдем [44]

Аналогичным образом может быть установлено выражение для числа Шервуда реагирующей частицы, находящейся в сдвиговом потоке [79]. Отметим, что при практических

расчетах удобно находить число Шервуда путем непосредственного аналитического или численного решения уравнения (4.22), не прибегая к разложению в ряд правой части этого уравнения.

В случае поверхностной реакции порядка х уравнение (4.22) принимает вид

При из (4.24) можно получить соответственно

На рис. 6.5 показана зависимость нормированного среднего числа Шервуда от отношения безразмерной константы скорости химической реакции к к параметру при разных значениях показателя

Рис. 6.5. Зависимость нормированного среднего числа Шервуда от отношения безразмерной константы скорости химической реакции к величине среднего числа Шервуда для диффузионного режима при степенной зависимости скорости химической реакции от концентрации.

Видно, что среднее число Шервуда растет при увеличении безразмерной константы скорости реакции и убывает с ростом порядка реакции. В связи с этим примером отметим, что для

гетерогенной химической реакции углерода с кислородом, протекающей на поверхности частицы угля, имеем:

Отметим, что среднее число Шервуда в случае поступательного потока с точностью до членов порядка включительно было вычислено в работе [96].