§ 3. Поле температур, обусловленное тепловым эффектом реакции на поверхности сферы. Диффузионный режим реакции

В §§ 1, 2 исследовалось поле концентраций при протекании изотермической химической реакции на поверхности сферы, находящейся в потоках различного типа. Во многих случаях поверхностная химическая реакция сопровождается выделением или поглощением тепла. Ниже рассматривается простая модельная задача [37] о распределении температуры вне и внутри теплопроводящей сферической частицы, которое обусловлено тепловым эффектом поверхностной реакции, протекающей в диффузионном режиме,

Вдали от частицы ноток предполагается однородным со скоростью, концентрацией и температурой равными соответственно Предполагается, что коэффициенты теплопроводности и диффузии имеют постоянные значения. Для описания распределения скорости в потоке, как и прежде, будут использоваться внутренние и внешние асимптотические разложения (1.6) и (1.7) для функции тока, полученные при малых числах Рейнольдса [95]. В рассматриваемом случае поле концентраций не зависит от распределения температуры и для чисел Шмидта, удовлетворяющих условию определяется формулами (1.48), (1.49) при к

В безразмерных переменных уравнения теплопроводности вне и внутри сферы можно записать соответственно в виде

Здесь и температура в потоке и внутри частицы, тепловое число Пекле, коэффициент температуропроводности среды.

Граничные условия, выражающие однородность температуры вдали от частицы, непрерывность температуры и баланс тепла на ее поверхности, а также ограниченность температуры в центре частицы, имеют вид

Здесь коэффициенты теплопроводности частицы и потока, Н — теплота реакции реакция экзотермическая, эндотермическая). Отметим, что температура на поверхности частицы заранее не известна и определяется в ходе решения задачи.

В граничное условие (3.5) входит величина нормальной составляющей градиента концентрации на поверхности

частицы. Для определения этой величины воспользуемся результатами § 1, ограничившись случаем реакции, протекающей в диффузионном режиме. Полагая в формуле что соответствует бесконечно большим значениям безразмерной константы скорости реакции можно получить

Здесь число Льюиса, число Прандтля.

Сформулированная выше задача близка к рассмотренной в § 1. Поэтому, ограничившись, как и прежде, случаем используем для ее решения метод сращиваемых асимптотических разложений.

После температуры вне сферы находится в виде внешнего и внутреннего разложений, в которых порядок малости последовательных членов по числу будет таким же, как и порядок членов по числу в разложениях для распределения концентрации (1.48), (1.49). Решение внутри сферы, как показывают граничные условия на поверхности (3.4), (3.5), следует искать в виде асимптотического разложения с такими же коэффициентами как и во внутреннем разложении вне сферы.

Уравнения для трех первых членов внешнего и внутреннего разложений температуры с точностью до переобозначений — сжатая радиальная координата) совпадают с соответствующими уравнениями для концентрации, которые приведены в § 1. Из уравнения (3.2) следует, что все члены асимптотического разложения температуры внутри сферы удовлетворяют уравнению Лапласа, общее решение которого может быть представлено в виде ряда по полиномам Лежандра.

Учитывая сказанное и опуская промежуточные выкладки, в основном аналогичные приведенным в § 1, можно получить следующие выражения для распределения температуры в потоке вблизи частицы:

(см. скан)

для распределения температуры внутри частицы

и для распределения теплового, потока по поверхности частицы

В формулах постоянная Эйлера, — числа Прандтля, Шмидта, Пекле и Льюиса.

Формулы (3.8) — (3.10) позволяют проследить влияние различных характеристик на поле температуры вне и внутри движущейся сферической частицы с поверхностной химической реакцией. Из (3.8), (3.9) следует, в частности, что движение приводит как к изменению средней температуры частицы, так и к появлению разности температур между точками на ее лобовой и кормовой поверхностях. Величина и знак этого эффекта определяются тепловым эффектом и величиной числа Льюиса по сравнению с единицей, обращаясь в нуль при

Из формулы (3.10) видно, что локальный тепловой поток сложным образом зависит от числа Льюиса, числа Прандтля, теплового числа Пекле, отношения коэффициентов теплопроводности сферы и окружающей среды и безразмерной теплоты реакции.

Для иллюстрации результатов на показаны распределения локального теплового потока на поверхности сферы при различных числах Льюиса в предельных случаях большой и малой теплопроводности сферы (соответствующие рис. 6.4 значения локального потока вычислены при формуле (3.8)). Значения и диффузионного числа Пекле

фиксированы: при этом Числа Льюиса в пределах от до соответствуют реальным значениям для многих газов.

Графики показывают, что при в точке набегания потока на частицу локальный тепловой поток с ростом числа Льюиса сначала растет, потом, когда число Льюиса становится больше единицы, начинает уменьшаться.

Рис. 6.4. (см. скан) Распределение локального теплового потока по поверхности сферической частицы в предельных случаях большой и малой теплопроводности сферы.

В лобовой части частиц существует такое значение угла при котором практически не зависит от числа Льюиса для всех В кормовой точке плотность теплового потока с ростом уменьшается.

В случае локальный тепловой поток на частицу с ростом уменьшается; кроме того, для каждого значения он уменьшается от своего наибольшего значения в точке набегания потока до наименьшего в кормовой точке

Несмотря на существенное качественное различие поведения распределения температуры и локального теплового потока при разных значениях отношения коэффициентов теплопроводности частицы и окружающей ее среды, среднее число Нуссельта не зависит от этого отношения и определяется формулой

где среднее число Шервуда задается выражением (1.51) при

Формула (3.11) справедлива при любых числах Пекле и. произвольной кинетике гетерогенной химической реакции и является следствием баланса интегральных потоков тепловой энергии и энтальпии на поверхности частицы.