§ 2. Область передней критической точки и диффузионный пограничный слой

Для изучения распределения концентрации в области передней критической точки введем растянутые координаты

Используя их в выражении для функции тока (1.2) и ограничиваясь главным членом разложения по степеням 8 (принимается, что получаем

Записав уравнение (1.4) в переменных подставляя в него приведенное выражение для функции токаи выделяя затем старшие члены разложения концентрации по малому параметру , получаем уравнение и (с учетом первого условия (1.3)) граничные условия для распределения концентрации в области передней критической точки:

Последнее условие в (2.2) является следствием симметрии задачи.

Для завершения формулировки задачи (2.2) необходимо использовать условия асимптотического сращивания решения в рассматриваемой области с решениями в прилегающих областях — внешней области и области диффузионного пограничного слоя с исключенной областью передней критической точки Эти условия записываются в следующем виде:

При записи условия (2.3) учтено решение (1.7) для внешней области. Для получения явного вида условия (2.4) необходимо знать асимптотику распределения концентрации в области при

Изучение поля концентрации в области будем проводить в переменных Из выражения для функции тока (1.2) получаем

Процедура выделения старших членов разложения из уравнения (1.4) с учетом (2.5) при условиях приводит к следующему уравнению для концентрации в области

В диффузионном погранслое с исключенной областью передней критической точки существенную роль играет радиальная диффузия вещества к поверхности капли, в то время как тангенциальной диффузией можнс пренебречь.

Переходя в (2.6) к переменным Мизеса [156] и используя соотношения

(нижним индексом отмечена фиксируемая координата) получаем следующее уравнение для распределения

концентрации:

Делая замену переменной

сводим (2.7) к уравнению теплопроводности

Граничные условия для (2.9) следуют из первого условия (1.3) и условия сращивания с решением (1.7) во внешней области и соответствуют значениям

Для завершения формулировки задачи (2.9), (2.10) необходимо добавить еще одно условие при (эквивалентное начальному условию в задаче теплопроводности). Значение соответствует причем в случае фиксированного при и согласно второму равенству (2.5) имеем Это связано с вырождением преобразования Мизеса на оси потока (при ). С другой стороны, требование при соответствует одновременному стремлению что естественным образом приводит к использованию условия сращивания решений в областях

Возвращаясь к переменным и учитывая (1.7), запишем это условие в виде

Задача (2.9), (2.10), (2.12) имеет стандартную форму, ее решение известно:

Отметим, что при формулировке задачи (2.9), (2.10), (2.12) вместо условия сращивания (2.4) использовано условие (2.11). Это позволяет определять поле концентрации последовательно в областях и

Вернемся к области и условию (2.4). Используя соотношения (2.13), (2.5), (2.8), находим асимптотику распределения на границе с областью передней критической точки:

Тем самым в соответствии с условием сращивания (2.4) определена асимптотика концентрации в области при Более того, решение задачи которая теперь полностью определена, совпадает с указанной асимптотикой, в чем можно убедиться непосредственной проверкой. Последнее означает, что в области передней критической точки диффузия в тангенциальном направлении несущественна; это приводит к заключению о возможности распространения! решения (2.13) на эту область. Другими словами, формула (2.13) оказывается справедливой во всей области диффузионного пограничного слоя в исходной системе сферических координат она имеет вид

Этот результат был получен ранее [60] несколько иным путем. Отметим, что распространенное интуитивное соображение [60] о «необедненности потока в передней точке частицы» не следует понимать буквально. В действительности в области передней критической точки концентрация определяется выражением (2.14) и меняется от нуля на поверхности капли до единицы на границе с внешней областью. Конечный же результат (2.15) оказывается верным благодаря неявному использованию условия сращивания (2.11).