§ 5. Массоперенос к поверхности растущей капли

На практике часто встречаются дисперсные системы, в которых межфазная поверхность растет или уменьшается в процессе массо- или теплопереноса. Примером может служить теплоперенос к растущим паровым пузырькам, всплывающим в кипящей жидкости, а также тепло- и

массообмен пузырей с окружающей их средой в псевдосжиженном слое, когда размеры пузырей растут по мере их подъема в результате коалесценции и притока газа из окружающей среды. Интересным в практическом отношении случаем является массоперенос к поверхности капли, вытекающей из тонкого капилляра в чистую жидкость или раствор. Эта задача имеет непосредственные приложения в теории концевого эффекта (т. е. интенсификации массопереноса в процессе формирования капель в массообменном аппарате, например, при жидкостной экстракции) и в теории полярографического метода, широко применяемого в электрохимии (см., например, [60]). В отличие от задач, рассмотренных в §§ 2—4, здесь и в § 6 мы будем иметь дело с неустановившимся полем течения вокруг капли.

Хорошей моделью процесса вытекания капли из капилляра во многих случаях может служить сферическая капля, растущая в результате наличия в ее центре источника постоянной интенсивности [60, 144]. Пусть заданный постоянный массовый расход источника (расход через отверстие капилляра). Тогда зависимость радиуса капли а от времени определится из уравнения сохранения массы

(р - плотность капли), откуда

где

(начальный размер капли в момент включения источника равен нулю). Скорость радиального движения поверхности капли

Предполагая, что радиальное расширение капли происходит в среде, покоящейся на бесконечности относительно центра капли, заключаем, что скорость жидкости будет иметь только радиальную составляющую зависящую только от радиальной координаты Из уравнения неразрывности теперь следует

Уравнение (5.4) вместе с соотношениями (5.1) — (5.3) полностью описывает поле скоростей жидкости вне растущей капли в системе координат, связанной с центром капли.

Удобно перейти к безразмерным переменным, введя в качестве масштаба длины характерный размер капли в качестве масштабов времени и скорости — соответственно величины Тогда безразмерные переменные связаны с соответствующими размерными переменными следующими соотношениями:

а зависимости (5.1), (5.3), (5.4) запишутся в виде

Рассмотрим процесс диффузии к поверхности расширяющейся капли, считая, что в начальный момент времени концентрация раствора постоянна и равна концентрации вдали от капли, а на поверхности капли при концентрация не зависит от времени и равна Выбрав в качестве масштаба концентрации величину С запишем уравнение диффузии с начальным и граничными условиями в следующей безразмерной форме:

Здесь

— число Пекле, которое, в отличие от числа Пекле в рассмотренных выше случаях, обратно пропорционально масштабу длины.

Поскольку построить аналитическое решение задачи (5.7) во всем диапазоне чисел Пекле не удается, рассмотрим, как обычно, случай больших чисел Пекле, т. е. случай достаточно малых размеров капли или больших расходов источника. Удобно связать систему координат с поверхностью капли, введя безразмерную координату

отсчитываемую по нормали к поверхности: Тогда в приближении диффузионного пограничного слоя краевую задачу (5.7) запишем в виде

При этом согласно зависимостям (5.6)

Для решения задачи (5.7) — (5.13) применим метод вспомогательных переменных, описанный в § 1. В рассматриваемом случае зависимость от угловой координаты отсутствует, поэтому для вспомогательных функций вместо (1.3) имеем

а дифференциальные соотношения (1.4) принимают вид

Искомое поле концентрации в новых переменных удовлетворяет стандартному одномерному уравнению теплопроводности, автомодельное решение которого (1.5), удовлетворяющее граничным условиям на поверхности капли (5.11) и вдали от нее (5.12), записывается в виде

Осталось найти функции Интегрируя последовательно уравнения (5.15) и определяя постоянные интегрирования с учетом начального условия (5.10) таким образом, чтобы получаем

В результате решение краевой задачи (5.9) — (5.12)

можно яредставмь следующим образом:

Для безразмерного среднего потока на поверхность капли

откуда, возвращаясь к исходным переменным, имеем выражение для полного потока (в размерной форме) [144]:

Эта формула служит теоретической основой полярографического метода, широко используемого для количественного анализа растворов, и хорошо подтверждается экспериментальными данными. Анализ этих данных и обсуждение пределов применимости формулы для расчета капельного полярографа можно найти в [60].

Необходимо отметить, что условие применимости приближения диффузионного пограничного слоя накладывает ограничение снизу на величину числа Пекле. Согласно определению (5.8) отсюда следует ограничение сверху на размер капли

(например, при расчете капающего ртутного электрода это соответствует ограничению на размер капли при отрыве или на период капания).

Полученный выше результат (5.17) представляет собой главный член разложения поля концентрации в ряд по малому параметру Методом сращиваемых асимптотических разложений, аналогичным описанному в § 4 гл. 1, можно получить следующие члены этого ряда. При помощи вспомогательных функций (5.14), (5.16) задача сводится к решению одномерного уравнения теплопроводности с источником при однородных начальном и граничных условиях. Соответствующий расчет при нулевом начальном радиусе капли дает поправку к формуле (5.19) в виде множителя впервые указанного в работе [150]. Отметим, что вывод указанной

поправки и, в частности, выраженйе для плотности диффузионного потока к капле приведены в [60] с ошибками.

В случае, когда на поверхности расширяющейся капли протекает реакция первого порядка, определение поля концентрации в главном приближении по параметру сводится к решению краевой задачи, аналогичной (5.9) — (5.12) при замене граничного условия (5.11) на соответствующее условие третьего рода. Решение этой задачи, построенное в рядах [60], показывает, что при больших значениях времени полный поток дается выражением, совпадающим с формулой (5.19).

Попытка [24] (см. также [176], где повторен вывод работы [24]) обобщения формулы (5.19) на случай движения центра масс растущей капли (например, из-за удаления центра масс от края капилляра) несостоятельна, поскольку для определения поля скоростей использовались уравнения Стокса, а поправка оказывается пропорциональной квадрату числа Рейнольдса.