Глава 4. МАССООБМЕН ОДИНОЧНЫХ РЕАГИРУЮЩИХ ЧАСТИЦ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ И СИСТЕМ ЧАСТИЦ С ЛАМИНАРНЫМ ПОТОКОМ

При сохранении общей постановки задачи результаты гл. 3 могут быть распространены на более широкий класс задач, встречающихся в приложениях, связанных с химической технологией, метеорологией, проблемой загрязнения окружающей среды.

Эти обобщения составляют содержание данной главы. Они основаны на использовании более общих предположений о форме частиц и характере их обтекания, а также включают учет диффузионного влияния соседних частиц на массообмен отдельной частицы. Рассмотрено общее уравнение диффузионного пограничного слоя при трехмерном обтекании реагирующей частицы произвольной формы, которое далее используется в конкретных примерах. Результаты включают, в частности, решение задачи о диффузии вещества к поверхности эллипсоидальной частицы и кругового тонкого диска при осесимметричном обтекании и к эллиптическому цилиндру и пластине при поперечном обтекании. Проведен расчет интенсивности массообмена сферической частицы и капли с трехмерным деформационным и простым сдвиговым потоком. Как и в других разделах, основным итогом являются приближенные формулы, позволяющие эффективно вычислять локальный и полный диффузионные потоки реагирующего вещества к поверхностям частиц, которые существенным образом зависят от формы частицы и поля течения вблизи ее поверхности, а также от взаимного расположения частиц в системе.

§ 1. Трехмерный диффузионный пограничный слой. Произвольная форма частиц

В главах 1—3 рассматривались двумерные (плоские и осесимметричные) задачи о массообмене капель и твердых частиц с потоком. Было показано, что при больших числах Пекле основной вклад в интегральный приток вещества на поверхность частицы вносит область диффузионного

пограничного слоя. Для решения уравнения диффузионного пограничного слоя использован метод, основанный на переходе от исходных независимых переменных — двух пространственных координат (сферических, цилиндрических и т. п.) к переменным Мизэса, одной из которых является функция тока, другой — пространственная координата.

В отличие от двумерного случая, трехмерное течение, вообще говоря, не может быть описано с помощью функции тока. Поэтому для решения трехмерных задач диффузионного пограничного слоя нельзя непосредственно использовать метод, описанный в гл. 1—3.

Для решения задач трехмерного диффузионного пограничного слоя может быть применен метод, который является естественным обобщением классического метода решения двумерных задач. Основная идея метода заключается в выборе криволинейной системы координат, связанной с линиями тока (обтекание предполагается известным), в которой одна компонента скорости жидкости тождественно равна нулю. Последнее обстоятельство позволяет при описании поля течения в диффузионном пограничном слое ввести аналог функции тока и записать уравнение трехмерного диффузионного пограничного слоя в форме, подобной уравнению двумерного пограничного слоя, с коэффициентами, параметрически зависящими от одной из криволинейных координат [87].

Постановка задачи. Выбор системы координат. Рассмотрим трехмерную задачу о стационарной конвективной диффузии к поверхности твердой или жидкой частицы произвольной формы, обтекаемой ламинарным потоком вязкой несжимаемой жидкости. Как и ранее, предполагается, что число Пекле велико; здесь а — характерный размер частицы (в качестве которого обычно выбирается радиус эквивалентной по объему сферы характерная скорость потока (на бесконечности), коэффициент диффузии. Считается также, что на поверхности частицы и вдали от нее концентрация принимает постоянные значения, равные нулю и а поле течения жидкости известно из решения соответствующей гидродинамической задачи об обтекании частицы.

При анализе, аналогично [74, 75], используем ортогональную криволинейную систему координат связанную с поверхностью тела и линиями тока. Для этого укажем направления ортов в любой точке окружающего частицу потока жидкости (рис. 4.1). Нормаль

к поверхности частицы, проходящая через задает направление орта Направление орта определяется проекцией вектора скорости жидкости в точке на плоскость, перпендикулярную а орт выбирается так, что система векторов составляет ортогональную правую тройку.

Рис. 4.1. Криволинейная ортогональная система координат связанная с поверхностью тела и линиями тока.

Начало координат и правило, по которому ведется отсчет криволинейных координат (т. е. зависимость компонент метрического тензора от в каждом конкретном случае выбираются по-разному из соображений удобства; для определенности далее считаем, что поверхность частицы задается фиксированным значением такой системе координат вектор скорости жидкости в каждой точке представляется в виде

Учтем теперь, что в выбранной системе координат уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости имеет вид

Определим функцию как решение системы

Тогда уравнение наразрывности (1.1), которое совпадает с условием интегрируемости системы (1.2), удовлетворяется автоматически. Постоянную интегрирования в (1.2)

выбираем так, чтобы функция обращалась в нуль на поверхности частицы при

Поверхности целиком состоят из линий тока. Функция имеет простой физический смысл, а именно, она является трехмерным аналогом функции тока и будет далее называться функцией тока. В плоском и осесимметричном случаях совпадает с обычной функцией тока.

В безразмерных переменных уравнение стационарной конвективной диффузии и граничные условия в криволинейной системе координат записываются следующим образом:

где безразмерная концентрация.

Асимптотический анализ задачи (1.3), (1.4) проводится существенно различным образом в зависимости от того, имеются или отсутствуют на поверхности частицы особые (критические) гидродинамические точки. Исследуемый здесь случай характеризуется наличием таких точек и приходящих из бесконечности на поверхность частицы особых линий тока, порождающих диффузионные пограничные слои.

Рассмотрим сначала наиболее простую ситуацию, когда на поверхности частицы имеются только две изолированные особые критические точки натекания и стекания соответственно (рис. 4.1). В окрестности точки натекания происходит «зарождение» расположенного вблизи поверхности частицы диффузионного пограничного слоя. Считаем, что точка натекания определяется координатой а стекания — координатой

При вязком обтекании на поверхности твердой (жидкой) частицы должно выполняться условие прилипания (непротекания), поэтому в случае несжимаемой жидкости (1.1) функцию токаф вблизи поверхности тела можно с учетом (1.2) представить в виде

При ламинарном вязком обтекании гладких твердых частиц параметр обычно равен двум; существует также несколько примеров обтекания, когда При обтекании капли (пузыря) вязкой жидкостью и твердых частиц идеальной жидкостью

Введем в диффузионном пограничном слое новую переменную

Выделяя из уравнения (1.3) с учетом (1.2), (1.5) старшие члены разложения по малому параметру (при этом оказывается, что последними членами в фигурных скобках в правой части уравнения (1.3) можно пренебречь по сравнению с первым), получаем уравнение диффузионного пограничного слоя в следующей форме:

Уравнение (1.6) параметрически зависит от третьей криволинейной координаты Здесь, как и прежде, индекс означает, что соответствующая величина берется на поверхности частицы.

Используя новые переменные

сведем погранслойную задачу о диффузии (1.6), (1.4) к следующей краевой задаче:

Ее решение имеет вид

Следует отметить, что более сложный анализ трехмерного диффузионного пограничного слоя проводился в

ботах [17, 18], где для уравнения стационарной конвективной диффузии, записанного в обычных погранслойных координатах (которые часто используются в аналогичных гидродинамических задачах и связаны только с поверхностью тела, но не связаны с линиями тока), было найдено преобразование, сводившее его к уравнению с разделяющимися переменными. В работе [116] для случая произвольного трехмерного обтекания твердой частицы, что соответствует значению в (1.5), в пограничном слое использовалась локальная ортогональная криволинейная система координат, аналогичная

Аналогичным образом рассматривается случай а также случай, когда область течения вокруг частицы задается неравенством В общем случае, так же, как это делалось в можно показать, что для распределения концентрации остается справедливой формула (1.9), где переменные определяются выражениями

Безразмерный локальный диффузионный поток определяется производной по нормали от концентрации (1.9), (1.10) на поверхности тела и равен

Для безразмерного полного диффузионного потока растворенного в жидкости вещества на поверхность частицы имеем

В общем случае, когда на поверхности частицы имеется более двух критических точек и линий (т. е. функция тока меняет знак), разбиваем область течения вблизи поверхности тела на участки, в каждом из которых функция тока сохраняет знак. Нетрудно показать, что

распределение концентраций и локальный диффузионный поток на каждом из таких участков определяются формулами при где критическая точка (линия) натекания, расположенная внутри (на границе) участка. Полный интегральный поток вычисляется путем суммирования интегральных потоков по всем участкам.

В общем случае трехмерного течения для использования формул необходимо решить вспомогательную задачу об определении криволинейной системы координат найти разложение функции тока вблизи поверхности капель и частиц (1.5) и вычислить компоненты метрического тензора. Как правило, исходная информация о поле течения позволяет непосредственно получить лишь распределение скоростей жидкости вблизи частицы в некоторой фиксированной ортогональной системе координат неподвижно связанной только с ее поверхностью, но не с линиями тока. Ввиду сказанного часто возникает необходимость вычислять величины их, входящие в формулы в исходной ортогональной системе координат Поэтому покажем, как, используя знание асимптотики тангенциальной составляющей вектора скорости жидкости вблизи поверхности частицы,

определять функции (1.5), (1.10) в системе координат

Из сопоставления выражений (1.2), (1.5), (1.10), (1.13) получаем следующие формулы для функций

Здесь и далее для сокращения записи индекс всех компонент метрического тензора опускается (напоминаем, что все эти величины берутся на поверхности частицы при

Учтем теперь, что, по определению, искомые ортогональные криволинейные координаты должны удовлетворять соотношениям что приводит к следующим

уравнениям для определения и X:

Используем также то, что квадрат длины дуги на поверхности частицы сохраняется при переходе от старой к новой ортогональной системе координат:

Из равенства (1.17) с учетом (1.15), (1.16) после некоторых выкладок можно получить выражение для метрического коэффициента

Аналогичные формулы для другого метрического коэффициента получаются из (1.18) путем замены

В подынтегральном выражении для функции перейдем от переменной интегрирования к старой переменной используя соотношения, справедливые при

которые выводятся из (1.17) с учетом того обстоятельства, что на интегральных кривых характеристического обыкновенного дифференциального уравнения

соответствующего уравнению в частных производных (1.16), выполняется равенство В результате получим

Здесь и далее индекс X внизу после фигурных скобок означает, что соответствующая величина берется при должно быть выражено через . Переход в подынтегральном выражении (1.14) от к другой переменной у осуществляется путем перемены мест координат в (1.21).

Для исследования массопереноса к частице или капле (пузырю) сферической формы, обтекаемым произвольным трехмерным ламинарным потоком, полезно иметь формулы для определения функции в сферической системе координат связанной с центром частицы. В этом случае имеем (метрические коэффициенты берутся на поверхности частицы)

Используя выражение (1.21) с учетом (1.22) для переменной получаек следующие формулы:

Таким образом, в общем случае при вычислении интегрального потока на поверхность частицы (числа Шервуда) необходимо представить тангенциальную составляющую скорости жидкости вблизи поверхности частицы в форме (1.13), найти общее решение характеристического уравнения (1.20), заменить в нем произвольную постоянную на получив тем самым зависимость определить переменную по формуле (1.21), в которой подынтегральное выражение должно быть записано через координату X и переменную, по которой ведется интегрирование, и, наконец, воспользоваться формулами (1.11), (1.12).

Плоский и осесимметричный случаи. В плоском и осесимметричном случаях все величины не зависят от

координаты При заданной функции тока компоненты метрического тензора, необходимые для расчета диффузионных потоков вещества, также оказываются заранее известными. Это существенно упрощает вычисление диффузионных потоков по формулам (1.10)-(1.12). В частности, выражение (1.12) принимает вид

Переменная вычисляется по формуле (1.7) или (1.10). При записи выражения (1.24) было учтено, что в плоском случае полный диффузионный поток принято вычислять на единицу длины цилиндра (0 А, 1).

Следует отметить, что формулы для распределения концентрации и диффузионных потоков в случае произвольного двумерного обтекания тел любой формы, записанные в тех или иных обозначениях в разных системах координат, фигурировали во многих работах (см., например, [30, 50, 89, 94, 110, 114, 136]).

Формула (1.24) записана в произвольной ортогональной криволинейной системе координат, связанной с поверхностью тела. При решении конкретных осесимметричных и плоских задач полезно иметь выражения для переменных в сферической и цилиндрической системах координат.

Пусть в сферической или цилиндрической з) системе координат форма тела описывается уравнением Тогда поле скоростей жидкости вблизи поверхности тела определяется функцией тока Для переменной получим 130, 941:

в сферических координатах

в цилиндрических координатах

Здесь угловая координата точки (линии) натекания на поверхности тела.

Отметим, что если параметр фигурирующий в формуле (1.5) и последующих формулах этой главы, имеет одинаковое значение на всей поверхности частицы, то, как нетрудно убедиться, полный диффузионный поток на поверхность частицы удовлетворяет свойствам инвариантности, сформулированным для частного случая капли в § 1 гл. 2.