§ 7. Массоперенос к твердым частицам. Приближенный метод интегрирования нестационарных уравнений диффузионного пограничного слоя

При анализе нестационарного процесса массопереноса к твердым частицам, движущимся в вязкой жидкости при больших числах Пекле, использованный выше метод вспомогательных функций непосредственно неприменим, поскольку зависимость функции тока вблизи поверхности частицы от поперечной координаты уже не будет линейной. Однако можно применить общий приближенный метод интегрирования нестационарных уравнений диффузионного пограничного слоя [34], основанный на усреднении исходного уравнения диффузии по поперечной координате. Такой метод оказывается достаточно эффективным для исследования процессов массообмена капель, пузырей и твердых частиц, причем для капель и пузырей (а также для твердых частиц в идеальной жидкости) он сводится к обычному методу вспомогательных функций и обеспечивает точный результат.

Постановка задачи. Общее решение. Аналогично тому, как это делалось в § 1, рассмотрим двумерную задачу массообмена частицы с потоком, считая заданной концентрацию растворенного вещества вдали от частицы; начальное (при ) распределение концентрации в потоке всюду постоянно и равно С. На поверхности частицы в начальный момент начинается химическая реакция, протекающая в диффузионном режиме.

Связав с частицей ортогональную криволинейную систему координат в которой координата отсчитывается от поверхности безразмерную функцию тока вблизи поверхности частицы запишем в виде

т. е. для простоты рассматриваем лишь такие течения, для которых переменные в выражении для разделяются. Значение соответствует каплям (пузырям) умеренной вязкости в потоке вязкой несжимаемой жидкости и частицам, движущимся в идеальной жидкости, твердым частицам в вязком потоке

В приближении диффузионного пограничного слоя распределение безразмерной концентрации растворенного вещества в потоке описывается уравнением (1.2) с

граничными и начальным условиями

Для построения приближенного решения этой задачи запишем уравнение (1.2) для величины степени превращения и проинтегрируем по от до аналогично тому, как это делается в теории гидродинамического пограничного слоя [63, 64, 109]. С учетом граничных условий (7.2) получаем интегральное соотношение

которое и будет рассматриваться в дальнейшем вместо исходного дифференциального уравнения диффузионного пограничного слоя.

Теперь для определения концентрации с, удовлетворяющей интегральному соотношению (7.4), применим метод вспомогательных функций, аналогичный описанному в § 1. Опираясь при этом на общие представления о структуре соответствующего решения стационарной задачи введем переменные и будем искать автомодельное решение в виде

где неполная гамма-функция;

Подставляя выражение (7.5) в (7.4) и выполняя интегрирование с учетом соотношения (7.1) и равенств

получаем для определения вспомогательной функции

систему уравнений в полных дифференциалах

где

Начальным условием для системы (7.6) служит следствие условия (7.3)

а граничное условие должно быть выбрано так, чтобы выполнялись условия симметрии (последнее соотношение в (7.2)).

После того как функция найдена, локальный диффузионный поток на поверхность частицы согласно (7.5) определяется по формуле

Отметим, что при установившемся обтекании характерное время выхода процесса массообмена на стационарный режим будет величиной порядка т. е. в случае твердых частиц оно существенно выше, чем в случае капель и соответственно).

Для капель и пузырей формула (7.5) совпадает с формулой (1.5) при а вспомогательные функции будут теми же, что и указанные в § 1 (ср., например, систему (7.6) при системой (1.5)), т. е. в этом случае описанный метод сводится к методу, изложенному в § 1.

Для твердых частиц в вязком потоке описанный здесь метод дает приближенное решение. Чтобы получить представление о точности метода в этом случае, рассмотрим асимптотическое выражение для концентрации при т. е. когда можно пренебречь конвективным переносом. Тогда концентрация не будет зависеть от продольной координаты и для локального диффузионного потока согласно (7.6) — (7.9) получим

С другой стороны, решение исходной задачи (1.2), (7.2),

(7.3) в пренебрежении конвективным переносом имеет вид

Отсюда следует, что при ошибка приближенной формулы (7.9) для твердой поверхности составляет менее 6% и, по-видимому, является максимальной во всем диапазоне

Диффузия к сфере в окрестности передней критической точки. Рассмотрим локальный диффузионный поток в окрестности передней критической точки твердой сферы, обтекаемой поступательным установившимся потоком в стоксовом приближении. В сферической системе координат связанной с центром сферы, в окрестности точки имеем Из формул (7.6) — (7.9) получаем

Функция определяется из уравнения

Приведем асимптотики этой функции при малых и больших значениях времени:

Диффузия к вращающемуся диску. Рассмотрим бесконечный плоский диск, вращающийся в вязкой несжимаемой жидкости с постоянной угловой скоростью На поверхности диска в момент начинается химическая реакция, протекающая в диффузионном режиме.

Как и в случае стационарной диффузии [60], распределение концентрации в жидкости не зависит от радиальной и угловой координат и будет функцией только от расстояния от поверхности диска и времени.

В безразмерных переменных в приближении диффузионного пограничного слоя задача определения нестационарного поля концентрации сводится к решению

уравнения [60]

с граничными и начальными условиями (7.2), (7.3). Здесь характерными масштабами длины, времени и скорости являются величины кинематическая вязкость жидкости.

Нетрудно заметить, что уравнение (7.11) может быть записано в виде (1.2), (7.1) при

Как и ранее, приближенное решение задачи (7.11), (7.2), (7.3), (7.12) ищем, исходя из интегрального соотношения (7.4) в виде

При этом для определения функции приходим к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению:

В силу (7.9) решение задачи (7.14) приводит к следующему неявному выражению для локального диффузионного потока:

Здесь

На рис. 7.9 сплошной линией показана зависимость нормированного локального диффузионного потока от времени; соответствует стационарному значению. Из формулы (7.15) следует, что при где

кальный поток менее чем на пять процентов отличается от своего стационарного значения.

Принимая за характерное время установления процесса, для в силу (7.15) получаем

На рис. 7.9 штриховой линией показана зависимость от где определяется приведенной выше точной асимптотикой локального потока при

Рис. 7.9. Отношение нестационарного кального диффузионного потока к поверхности вращающегося диска к соответствующему стационарному значению в зависимости от безразмерного времени (сплошная кривая). Штриховой кривой показана асимптотика этого отношения при

Коснемся оценки погрешности описанного интегрального метода. Во-первых, здесь имеет место определенная аналогия с интегральными методами, неплохо зарекомендовавшими себя в теории гидродинамического пограничного слоя [63, 64, 109]. Во-вторых, как следует из результатов этого параграфа, в общем случае произвольного обтекания при для погрешность метода составляет менее 6%. В-третьих, в задачах о диффузии к реагирующим каплям (пузырям) в ламинарном потоке вязкой жидкости и к частицам в идеальной жидкости (что соответствует значению в выражении предлагаемый метод является точным. Это можно показать путем непосредственной подстановки формулы (7.5) в исходное уравнение (1.2), после чего придем к уравнению (7.6) для определения искомой функции Следует отметить, что такого рода точные аналоги в нестационарных задачах гидродинамического пограничного слоя отсутствуют.