Глава 6. МАССОТЕПЛООБМЕН РЕАГИРУЮЩИХ ЧАСТИЦ С ПОТОКОМ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ ПЕКЛЕ

В данной главе излагаются результаты теоретического анализа массотеплообмена между средой и частицей, обтекание которой характеризуется малыми числами Пекле. Как и выше, при описании поля скоростей используются известные решения задач об обтекании частиц при малых числах Рейнольдса. Оценка реальных значений чисел Рейнольдса и Пекле показывает, что в этом случае основной областью применимости полученных результатов является, массотеплообмен частицы с движущимся газом.

В первых двух параграфах рассматривается изотермический массообмен поступательного и сдвигового потоков со сферической частицей, на поверхности которой протекает химическая реакция первого порядка. В третьем параграфе рассмотрен пример решения задачи о неизотермическом массо- и теплообмене сферы. Далее в § 4 полученные в первых трех параграфах результаты обобщаются на случай нескольких неизотермических реакций с нелинейной зависимостью скорости химической реакции от температуры и концентраций. Устанавливаются простые соотношения для приближенного расчета интегральных потоков реагентов и тепла на поверхность частицы. В § 5 получены некоторые общие соотношения, позволяющие по известной силе сопротивления движущейся несферической частицы оценить интенсивность ее массообмена с потоком. В § 6 даны интерполяционные формулы для числа Шервуда при промежуточных значениях числа Пекле.

§ 1. Массоперенос к сферической частице в поступательном потоке. Поверхностная химическая реакция первого порядка

Постановка задачи. Метод решения. Рассмотрим установившийся процесс диффузии в потоке вязкой несжимаемой жидкости, обтекающем твердую сферическую частицу

радиусам, на поверхности которой протекает гетерогенная химическая реакция первого порядка с константой скорости реакции На большом расстоянии от сферы скорость потока равна концентрация диффундирующего компонента — С.

В безразмерных переменных уравнение конвективной диффузии имеет вид

Здесь безразмерная (отнесенная к радиусу частицы) радиальная координата, угловая координата (которая отсчитывается от направления набегающего потока), А — оператор Лапласа, коэффициент диффузии, — безразмерная (отнесенная к функция тока, С — концентрация диффундирующего вещества. Граничные условия имеют вид:

на бесконечности

на поверхности сферы

При условие (1.3) принимает вид и соответствует диффузионному режиму поглощения вещества, а также теплообмену потока со сферой, температура которой поддерживается постоянной (в последнем случае под следует понимать коэффициент температуропроводности, а под отношение где — температура потока, температура на бесконечности).

Если функция тока известна, то уравнение (1.1) с условиями (1.2), (1.3) полностью определяет распределение концентрации в потоке. Точное решение задачи (1.1) — (1.3) невозможно, даже если в качестве распределения скоростей вязкого обтекания сферы принять простейшее из известных приближенных решений — решение Стокса.

Найдем приближенное аналитическое решение задачи (1.1) — (1.3) методом сращиваемых асимптотических разложений по числу во внутренней и внешней областях течения. Будем предполагать, что обтекание частицы

удовлетворяет условию и что При этом разбиение пространства около частицы на внешнюю и внутреннюю области для гидродинамической и диффузионной задач будет одинаковым. Для поля скоростей во внутренней и внешней областях используем решения, полученные методом сращиваемых асимптотических разложений в работе

Во внутренней области сохраним прежние переменные а во внешней введем вместо сжатую радиальную координату

Будем искать внутреннее и внешнее разложения распределения концентрации соответственно в виде

Относительно функций определяющих порядок величин последовательных членов разложений (1.4), (1.5), предполагается лишь, что

Члены разложения (1.4) определяются путем решения уравнения (1.1) с граничным условием (1.3). Для поля скоростей в (1.1) воспользуемся трехчленным внутренним разложением функции тока [95]:

Здесь число Шмидта, коэффициент кинематической вязкости.

Внешнее разложение (1.5) определяется из уравнения (1.1), в котором функция тока задается двучленным внешним разложением, и условия (1.2). Используя сжатую радиальную координату и нормированную функцию тока запишем (1.1), (1.2) в виде

Здесь осесимметричный сферический оператор Лапласа, получающийся из А заменой на

Возникающие при решении задач (1.1), (1.3), (1.6) и (1.7) произвольные константы определяются в результате сращивания внутреннего (1.4) и внешнего (1.5) разложений, которое в данном случае сводится к выполнению условия

Заметим, что здесь и далее при сравнении окончательных выражений для асимптотик при сращивании следует перейти к одинаковой переменной, внешней или внутренней.

Нулевое приближение. Построение решения начинается с определения нулевого члена внешнего разложения (1.5). В данном случае, очевидно, задаче (1.7) удовлетворяет решение

Найдем нулевой член внутреннего разложения (1.4). Из (1.1), (1.3), (1.6) при находим

Общее решение задачи (1.10) можно представить в виде

где полиномы Лежандра.

Выражение (1.11) содержит произвольные константы которые должны быть определены сращиванием (1.11) с (1.9) по правилу (1.8). Для сращивания внешнее решение разложим в ряд по Затем значения констант установим из требования соответствия поведения членов полученного ряда при и членов разложения (1.11) при Для нулевых приближений сращивание тривиально; получим Следовательно,

Первое приближение. Определим сначала, воспользовавшись процедурой сращивания, явный вид коэффициента во внешнем разложении. Для этого в решении (1.12) перейдем к внешней переменной. Тогда из (1.12) следует, что поэтому первое приближение для внешнего разложения следует искать в виде

Здесь и далее для сумм первых членов разложений (1.4) и (1.5), представляющих последовательные приближения к решению задачи, используются обозначения в виде черты сверху, т. е.

Подставляя (1.13) в (1.7) и удерживая слагаемые порядка получим

Общее решение задачи (1.14) имеет вид

Здесь функция Макдональда. Константы должны быть определены в результате сращивания, которое в данном случае заключаемся в сравнении поведения функции (1.13) при и функции (1.12) при Нетрудно установить, что Следовательно,

Найдем первое приближение для внутреннего разложения. Для этого перейдем в выражении для функции к внутренней переменной и представим в виде ряда по Тогда из (1.13) и (1.16) найдем, что Следовательно, первое приближение для

внутреннего разложения следует искать в виде

Подставив (1.17) в (1.1) и (1.3) с учетом (1.6) и сохранив члены порядка получим уравнение и граничное условие для

Решение уравнения (1.18) может быть представлено в виде

Граничное условие (1.19) позволяет установить линейные соотношения между постоянными и

Для определения явного выражения коэффициентов в (1.20) произведем сращивание выражений (1.17) при и (1.13) при Используя (1.16), (1.20) и (1.21), получим

Следовательно,

Второе приближение для внешнего разложения. Двучленное внутреннее разложение во внешних переменных на основании (1.17), (1.12) и (1.22) имеет вид

Из (1.23) следует, что Подставляя трехчленное внешнее разложение

где и определяются формулами (1.9) и (1.16), в (1.17), получим для

При решении задачи (1.24) используется замена

В результате уравнение (1.24) сводится к неоднородному уравнению Гельмгольца для Правая часть этого уравнения разлагается в ряд по полиномам Лежандра и решение его отыскивается также в виде ряда по

После вычислений получим

Здесь модифицированная функция Бесселя.

Постоянные определяются путем сращивания решения с (1.23). Для этого необходимо разло

жить функцию в ряд по малым При записи ряда используется разложение функции в ряд по которое имеет вид

Здесь постоянные, однозначным образом связанные с постоянная Эйлера. Ряд (1.26) можно неограниченно продолжить, однако выписанных выше членов достаточно для проведения сращивания.

После сращивания найдем постоянные

При этих значениях внешнее асимптотическое разложение сращивается с внутренним с точностью до членов порядка Явное выражение для асимптотики функции при имеет вид

Второе и третье приближения для внутреннего разложения. формулы (1.28) видно, что во втором приближении для внешнего разложения наряду со степенной

особенностью появляется логарифмическая. Это расщепление особенностей имеет место и в гидродинамической задаче об обтекании тела. Каждая из особенностей порождает соответствующий член во внутреннем разложении. При этом оказывается возможным определить сразу два последовательных приближения для внутреннего разложения. Ниже будет видно, что расщепление особенностей сохраняется и на последующих этапах решения. Переходя в (1.28) к внутренней переменной, определим коэффициент во внутреннем разложении (1.4):

Из (1.1), (1.3) найдем, что функция удовлетворяет уравнению Лапласа с однородным граничным условием

Общее решение задачи (1.30) имеет вид

Постоянные определяются путем сращивания при при Находим Таким образом,

Как следует из (1.28), третье приближение для внутреннего разложения должно иметь порядок

Функция удовлетворяет уравнению

Граничное условие:

Общее решение уравнения (1.33) имеет вид

В силу граничного условия (1.34) постоянные связаны линейной зависимостью

Для определения необходимо провести сращивание внутреннего и внешнего асимптотических разложений. Для этого перейдем в (1.35) к внешней переменной. Учитывая (1.4), (1.23), (1.31), (1.32), (1.35), (1.36), получим

Из (1.37) видно, что внутреннее разложение сращивается с точностью до членов порядка с внешним разложением определяемым формулами (1.5), (1.13), (1.16), (1.25), если

Постоянные найдем при помощи соотношений (1.35), (1.36), (1.38):

Функция полностью определяется формулами (1.35), (1.38), (1.39), функция определена в (1.28).

Приближения высшего порядка. Из (1.37) следует, что

Подстановка ряда (1.5) в соотношения (1.7) с учетом формул (1.9) и (1.40) приводит к выводу, что искомая функция удовлетворяет тому же уравнению и граничному условию (1.14), что и функция Следовательно, эти функции совпадают с точностью до множителя, величина которого определяется сращиванием с (1-37). Используя формулу (1.16), после сращивания получим

Из (1.40) и (1.41) следует, что

После подстановки ряда (1.4) в (1.1), (1.3) с учетом (1.6) получим уравнение и граничное условие для

Уравнение (1.43) отличается от (1.18) лишь множителем в правой части, а граничные условия (1.44) и (1.19) совпадают. Поэтому, используя (1.20), (1.21), для найдем

Постоянные определяются сращиванием разложений Переходя в (1.45) к внешней переменной, после сращивания получим

Из изложенного видно, что нахождение третьего приближения для функции и четвертого для не связано с громоздкими выкладками благодаря появлению логарифмической особенности. Очевидно, что отыскание приближений более высокого порядка потребует больших вычислений. При этом задача осложнится необходимостью предварительного определения высших членов внутреннего и внешнего асимптотических разложений функции тока, что представляет собой самостоятельную проблему. Ограничимся здесь лишь указанием на то, что, как вытекает из (1,6), (1.7), (1.37), (1.41), (1.42), (1.45), следующие приближения для должны иметь порядок

Кроме того, как следует из (1.41) и (1.45), функция будет содержать члены вида что приведет к полному сращиванию

Поле концентрации (температуры). Поток вещества (тепла) на поверхность частицы. Резюмируя полученные выше результаты, запишем выражение для распределения концентрации (температуры) в потоке, обтекающем сферу.

Вдали от сферы (внешнее асимптотическое разложение) имеем

где функция определяется (1.28).

Вблизи сферы (внутреннее асимптотическое разложение) имеем

Величины задаются формулами (1.35) и (1.39), функция определена в (1.28).

Выражение (1.49) позволяет рассчитать величины безразмерных локального и интегрального потоков активного компонента к поверхности реагирующей сферы. Для практических приложений наиболее важной характеристикой массообмена частицы с окружающей средой является среднее число Шервуда (в задачах о теплообмене — среднее число Нуссельта), которое определяется приходящимся на единицу поверхности частицы средним значением диффузионного потока:

После интегрирования приходим к следующему выражению, полученному в работах [28, 138, 138а]:

Полученная формула пригодна для любых значений безразмерной константы скорости реакции на поверхности частицы (т. е. при любых значениях кинетического параметра

Частный случай диффузионного режима реакции на поверхности сферы соответствует предельному переходу в (1.51) при и определяет также среднее число Нуссельта в случае теплообмена сферической частицы со средой при постоянной температуре поверхности частицы [169]:

Здесь число Прандтля, тепловое число Пекле.

В предельном случае стоксова обтекания сферы формулы (1.51), (1.52) переходят в результаты, полученные в работах [115, 190].

Соотношения (1.51), (1.52) позволяют проследить зависимость полного потока вещества (тепла) на поверхность частицы от числа Рейнольдса. На рис. 6.1 показано относительное приращение среднего числа Шервуда обусловленное конечностью при (что соответствует диффузионному режиму протекания реакции на поверхности сферы или теплообмену сферы) и разных числах Видно, например, что при это приращение составляет около 10%.

Влияние скорости течения на число Шервуда показано на рис. 6.2 при и различных значениях безразмерной константы скорости поверхностной химической реакции.

Отметим, что число Шмидта впервые появляется в выражениях (1.49), (1.51) лишь в четвертом слагаемом, порядок которого равен Это означает, что в случае обтекания сферы газовым потоком, когда справедливо соотношение использование стоксова приближения для поля скоростей (нулевой член разложения, полученный при в уравнении (1.1) при малых числах Рейнольдса вносит погрешность в решение соответствующей диффузионной задачи порядка

Рис. 6.1. Зависимость относительного приращения среднего числа Шервуда от числа Пекле для диффузионного режима реакции на поверхности сферы

Рис. 6.2. Зависимость среднего числа Шервуда от числа Пекле для различных режимов протекания поверхностной химической реакции.

В отличие от гидродинамической задачи об обтекании, где случай соответствовал движению частицы под действием вязких сил в пренебрежении силами инерции, в диффузионной задаче значение соответствует покоящейся частице в неподвижной среде. Поэтому для получения нетривиальной информации о влиянии движения на массообмен частицы со средой при необходимо по меньшей мере определить нулевой и первый члены разложения поля концентрации (числа Шервуда) по числу Пекле.

Как уже отмечалось, использованный здесь метод решения задачи о массообмене движущейся частицы применим при анализе широкого класса сходных по постановке задач. Например, в работе [143] рассматривалось обтекание сферы потоком вязкого диссоциирующего газа с учетом каталитической реакции первого порядка на ее поверхности; полученные результаты предполагалось использовать для создания теоретической основы

эксперимента по определению каталитической эффективности различных поверхностей. В [191] рассматривалась задача о массообмене частицы с потоком с учетом проскальзывания жидкости на поверхности сферы.