§ 6. Массоперенос в потоке с объемной химической реакцией

Рассмотрим установившийся массообмен между частицей (каплей) и потоком жидкости в случае, когда вещество, диффундирующее от поверхности частицы, испытывает в потоке химическое превращение. При ряде упрощающих предположений, в частности при предположении о диффузионном режиме растворения реагента на поверхности частицы, диффузия в потоке может быть описана следующими уравнениями и граничными условиями:

где концентрация на поверхности частицы, скорость объемной химической реакции. Для реакции порядка х имеем

Задача (6.1) — (6.3) содержит два безразмерных параметра определяющих характер распределения концентрации в потоке. В предельном случае интенсивность массообмена частицы с потоком в основном определяется диффузией от поверхности частицы, где концентрация сохраняет постоянное значение, число Шервуда в главном приближении не зависит от скорости объемной химической реакции и может быть найдено из решения задачи о распределении концентрации в диффузионном пограничном слое, рассмотренной в предыдущих главах.

В другом предельном случае изменение концентрации реагента, поступающего в поток с поверхности частицы, в главном приближении не зависит от числа и сосредоточено в тонком слое толщиной порядка

Используем локальную, связанную с поверхностью частицы, ортогональную систему координат г), X, в которой орт направлен по нормали, а орты лежат в касательной плоскости к поверхности частицы

Введем в уравнении (6.1) переменную

Выделяя старшие члены разложения по большому параметру при из (6.1) — (6.3) можно прийти к следующей задаче для распределения концентрации в тонком слое вблизи поверхности частицы:

Граничное условие на бесконечности для уравнения (6.5) следует из условия сращивания с решением в ядре потока.

Решение задачи (6.5) можно получить в неявном виде

Среднее число Шервуда, соответствующее решению (6.6), определяется формулой

где безразмерные полный диффузионный поток на частицу и площадь ее поверхности.

В общем случае сравнимых значений величин получить достаточно обоснованное аналитическое решение задачи (6.1) - (6.3) не удается. Однако для капли умеренной вязкости при больших числах Пекле в случае объемной химической реакции первого порядка приближенное асимптотическое решение задачи о массообмене капли с потоком может быть построено. Оно дает возможность рассчитать интенсивность притока вещества к поверхности капли и оценить сравнительную роль диффузии и объемной химической реакции в формировании поля концентрации в окрестности капли. Рассмотрим этот случай более подробно.

В приближении диффузионного пограничного слоя уравнение и граничные условия (6.1) — (6.3) могут быть

записаны в виде

Здесь использована система координат описанная в гл. 4; функция тока в (6.8) равна

Переход к новым переменным по формулам (1.6) при приводит задачу (6.8) к следующему виду:

Решение задачи (6.10) может быть найдено в виде произведения

где функция удовлетворяет уравнению

и равна

Тогда краевая задача для функции и принимает вид

Решение линейной задачи (6.14) известно, поэтому для распределения концентрации в потоке получим

Для вычисления локального диффузионного потока на поверхность капли внесем функцию в (6.15) под знак интеграла и произведение представим в виде

суммы двух слагаемых, одно из которых обращается в нуль при

Воспользовавшись (6.16), представим интеграл в (6.15) в виде суммы двух интегралов. Первый из этих интегралов легко вычисляется и выражается через дополнительный интеграл вероятностей в виде а второй не имеет особенности при Дифференцируя полученное таким образом выражение по можно получить следующую формулу для локального диффузионного потока на поверхность капли:

Здесь первое слагаемое соответствует диффузионному потоку на каплю при отсутствии объемной химической реакции часть локального потока, обусловленная протеканием химической реакции в жидкости; функция определена в (6.10), а

Формулы для полного диффузионного потока и среднего числа Шервуда могут быть получены интегрированием выражения (6.17) по поверхности капли.

Нестационарный аналог задачи (6.8) о диффузии к сферической капле, обтекаемой поступательным стоксовым потоком (полная функция тока для этого обтекания определяется формулой (2.1) гл. 1), рассматривался в работе [57]. Переменная и функции соответствующие стационарному решению [57] и фигурирующие в формуле для диффузионного потока (6.10), (6.17), определяются выражениями (4.1), (4.2).

Результаты расчета нормированного среднего числа Шервуда в зависимости от безразмерного комплекса (за масштаб скорости выбиралась величина для химической реакции первого порядка в случае поступательного стоксова обтекания сферической капли приведены на рис. 5.5 (необходимые данные, соответствующие решению [57], пересчитаны

по результатам работы [22] и показаны на рисунке точками; среднее число Шервуда для капли при отсутствии объемной химической реакции при При с точностью до 3,8% для среднего числа Шервуда можно пользоваться асимптотикой (6.7) (при ).

В работе [51] для определения среднего числа Шервуда для капли или твердой частицы произвольной формы при больших числах Пекле в случае протекания в жидкости объемной химической реакции с произвольной скоростью была предложена следующая простая формула:

Исследуем поведение приближенного выражения для среднего числа Шервуда (6.18) в предельных случаях больших и малых значений числа Пекле и параметра .

При формула (6.18) дает точный результат. При первым членом в правой части (6.18) можно пренебречь, и оставшаяся часть формулы совпадает с соответствующим точным асимптотическим результатом (6.7). Нетрудно проверить, что формула (6.18) дает правильный асимптотический результат и при (в этом случае ).

Рис. 5.5. Зависимость нормированного среднего числа Шервуда для сферической капли от величины в случае объемной химической реакции первого порядка.

В частном случае реакции порядка к формула (6.18) принимает вид

Сопоставление приближенного выражения (6.19) с результатами, полученными в [22, 57] при больших числах Пекле (в приближении диффузионного пограничного слоя) в случае объемной химической реакции первого порядка

для поступательного стоксова обтекания сферической капли приведено в таблице. Все данные соответствуют значению Видно, что максимальная погрешность формулы (6.19) в этом случае составляет около 7%.

(см. скан)

Из сопоставления с результатами численного анализа, проведенного в работе [149], где рассматривался конвективный массоперенос к сферической капле, осложненный объемной химической реакцией порядка следует, что погрешность приближенной формулы (6.19) в этом случае составляет около 5%.

В работе [147] дано численное решение приведенной во Введении стационарной системы двух уравнений (1.1) при Эта система описывает процесс, при котором растворенный в капле экстрагент, диффундируя в сплошную фазу, вступает там в химическую реакцию второго порядка с хемосорбентом.

Распределение концентрации в диффузионном следе сферической капли, обтекаемой поступательным стоксовым потоком, при протекании в жидкости объемной химической реакции первого порядка рассматривалось в работе [52].