ВВЕДЕНИЕ

§ 1. Постановка задач теории конвективного массотеплообмена частиц с потоком

Задача о массотеплообмене движущейся твердой частицы, капли или пузыря с окружающей средой лежит в основе расчета многих технологических процессов, связанных с растворением, экстракцией, испарением, горением, химическими превращениями в дисперсной системе, осаждением аэрозолей и коллоидов и т. п. Так, в промышленности процесс экстракции проводится из капель или пузырей, широко применяются гетерогенные химические превращения с использованием частиц катализатора, взвешенных в жидкости или газе. При этом скорость экстракции и интенсивность каталитического процесса в значительной мере определяются величиной полного диффузионного притока реагента к поверхности частиц дисперсной фазы, который в свою очередь зависит от кинетики поверхностной химической реакции, характера обтекания частицы, влияния соседних частиц и других факторов.

В результате анализа упрощенных задач, обработки обширного экспериментального материала и численных расчетов к настоящему времени установлен ряд закономерностей конвективного массотеплопереноса и предложены инженерные методы расчета, позволяющие приближенно определять интенсивности потоков массы и тепла к поверхностям движущихся реагирующих частиц в различных конкретных случаях. Вывод соответствующих формул, результаты расчетов на ЭВМ, сопоставление их с данными эксперимента и примеры практического применения содержатся в многочисленных статьях и

мояографиях (например, [3, 5, 12, 18, 48, 59, 59а, 60, 68, 104]).

Значительные математические трудности не позволяют дать единое описание массотенлообмена частицы со средой, охватывающее все многообразие встречающихся на практике ситуаций, различающихся характером обтекания частиц, кинетикой химической реакции на поверхности частицы, степенью взаимного влияния тепловых, химических и гидродинамических процессов, свойствами частиц и другими параметрами. Поэтому необходимо выделять сходные по постановке задачи, приближенное решение которых может быть найдено с разной степенью точности различными приближенными методами. Получение аналитических результатов по массотеплообмену капель и частиц при наличии химических превращений в потоке и на межфазной поверхности оказывается при этом возможным лишь для сравнительно простых моделей, допускающих существенные упрощения в математической формулировке задачи.

В предлагаемой книге авторы предприняли попытку изложить полученные к настоящему времени на основании ряда упрощающих предположений результаты теоретического исследования массотеплообмена движущихся реагирующих частиц со средой. Предполагается, что изменением плотности при химических превращениях (выражающимся, в частности, в появлении потоков Стефана) можно пренебречь. Баро- и термодиффузия, а также перенос тепла излучением считаются пренебрежимо малыми. Предполагается также, что плотность и вязкость среды не зависят от концентрации и температуры и, следовательно, распределения концентрации и температуры не оказывают влияния на обтекание частицы. Это приводит к возможности независимого анализа гидродинамической задачи о вязком обтекании и диффузионно-тепловой задачи о полях концентрации и температуры. Необходимая для решения диффузионно-тепловой задачи информация о поле скоростей считается известной. Коэффициенты диффузии и температуропроводности считаются не зависящими от концентрации и температуры. В некоторых разделах книги наряду с поверхностными превращениями рассматриваются также реакции, протекающие в объеме.

В указанных выше предположениях перенос каждого из компонентов движущейся смеси, сопровождаемый объемной (гомогенной) химической реакцией,

описывается системой уравнений

Здесь концентрации веществ, участвующих в реакции, коэффициенты диффузии -комцонента смеси, предполагаемые постоянными, скорость объемной химической реакции по -компоненту, общее число компонентов, — температура смеси, V — вектор скорости жидкости, — время. Скорость объемной химической реакции (по -компоненту) определяется как количество -компонента смеси, поглощаемое (или выделяющееся) в единице объема за единицу времени. Для ряда конкретных реакций зависимости скоростей реакций от концентраций и температуры приведены, например, в [48, 104].

В случае массообмена жидких частиц (капель или пузырей), заполненных гомогенной реагирующей смесью, с потоком уравнения (1.1) описывают распределение концентраций реагентов как в потоке, так и внутри капель (пузырей).

Уравнения (1.1) отражают тот факт, что перенос вещества в движущейся жидкости обусловлен двумя различными механизмами. Во-первых, при наличии разности концентраций в жидкости идет процесс молекулярной диффузии; во-вторых, частицы растворенного вещества увлекаются движущейся жидкостью и переносятся вместе с ней. Совокупность обоих процессов часто называют конвективной диффузией [60, 104].

При отсутствии химической реакции в объеме жидкости уравнения (1.1) несколько упрощаются. Однако коэффициенты в них зависят от координат, поэтому анализ соответствующей системы (1.1) сопряжен с большими трудностями даже в тех случаях, когда скорость реакции лимитируется концентрацией одного вещества или когда смесь стехиометрическая и коэффициенты диффузии компонентов совпадают, т. е. когда система (1.1) может быть сведена к одному уравнению.

Уравнения должны быть дополнены начальными и граничными условиями. Начальные условия определяются исходными профилями концентраций в потоке и внутри частицы. Граничные условия обычно задаются на поверхности частицы и вдали от нее. Последнее условие соответствует заданию невозмущенных значений

концентраций на бесконечности:

где — расстояние от межфазной поверхности. (В задачах растворения значение концентрации растворенного вещества вдали от частицы обычно берется за начало отсчета.)

В зависимости от конкретной физической постановки задачи граничные условия на поверхности частицы могут иметь различный вид.

Если на поверхности частицы протекает гетерогенная химическая реакция, в которой участвуют растворенные в потоке реагенты, и скорость диффузии внутри частицы пренебрежимо мала по сравнению со скоростью диффузии вне ее, то граничное условие, представляющее собой баланс массы -компонента смеси на поверхности частицы, записывается в виде

где координата отсчитывается по нормали к поверхности, скорость поверхностной реакции.

Если скорость поверхностной реакции зависит от концентрации одного реагирующего вещества, задача сводится к исследованию поля концентрации одного компонента индекс 1 в этом случае будем опускать). В случае степенной зависимости скорости гетерогенного превращения от концентрации условие (1.3) принимает вид

где — порядок реакции, константа скорости поверхностной реакции, зависимость которой от температуры обычно описывается законом Аррениуса

Здесь предэкспоненциальный множитель, энергия активации, газовая постоянная.

При рассмотрении задач диффузии, сопровождаемой конвективным переносом вещества и объемными химическими реакциями во внешнем потоке и внутри капли (пузыря) в отсутствие гетерогенных превращений на межфазной поверхности, в качестве граничного условия на

поверхности капли вместо (1.3) должно быть использовано условие непрерывности потоков и условие фазового равновесия компонентов. В задачах о растворении обычным является условие постоянства концентрации на поверхности частицы.

В зависимости от соотношения между скоростью гетерогенной химической реакции и скоростью диффузии можно выделить два важных предельных случая. Если скорость гетерогенной реакции относительно мала, то в первом приближении (при разложении по малому параметру, характеризующему отношение скоростей упомянутых выше процессов) концентрация реагента на реагирующей поверхности оказывается равной концентрации во внешнем потоке, так что скорость потребления вещества в ходе химической реакции может быть найдена непосредственной подстановкой значения концентрации в потоке вдали от поверхности в выражение для скорости химической реакции (кинетический режим). В случае «быстрой» по сравнению с диффузией поверхностной реакции граничное условие (1.3) упрощается и заменяется условием

которое соответствует полному поглощению реагента на межфазной поверхности (диффузионный режим). Условие (1.6) соответствует также диффузионному режиму осаждения аэрозольных и коллоидных частиц, причем при учете эффекта «зацепления» [18, 105] поверхность расположена на расстоянии от поверхности осаждения, равном среднему радиусу осаждающихся частиц. В общем случае, когда скорость диффузии реагента сравнима со скоростью химической реакции, в качестве граничного условия на поверхности реагирующей частицы должно использоваться условие (1.3), и режим реагирования называется смешанным.

При рассмотрении неизотермических процессов для описания распределения температуры в движущейся реагирующей среде используется уравнение переноса тепла, которое имеет вид

Здесь температура, коэффициент температуропроводности среды, предполагаемый постоянным,

тепловой эффект объемных химических реакций. Уравнение (1.7) справедливо в области как вне, так и внутри частицы (очевидно, что при описании переноса внутри твердой частицы в (1.7) следует положить Отсутствию объемных химических реакций соответствует в (1.7) равенство

При решении нестационарных задач должны быть заданы распределения температур в потоке и, в общем случае, внутри частицы в начальный момент времени.

Граничные условия для уравнения (1.7) зависят от характеристик моделируемой системы и могут быть различными. Одним из них обычно является условие постоянства температуры на больших расстояниях от частицы:

При расчете темплообмена частицы со средой, когда температура поверхности частицы сохраняет постоянное значение, граничное условие на поверхности частицы принимает простой вид

При этом задача о теплообмене частицы со средой с математической точки зрения оказывается полностью аналогичной задаче о массообмене реагирующей частицы с потоком, протекающем в диффузионном режиме.

Иная ситуация возникает при совместном исследовании тепло- и массообмена частицы с потоком, когда на поверхности частицы протекает неизотермическая реакция и температура частицы оказывается заранее не известной, подлежащей определению в ходе решения задачи. Вместо граничного условия (1.9) на поверхности частицы в этом случае следует записать условия непрерывности температуры и теплового потока:

где коэффициенты теплопроводности внешней среды и частицы, параметры определяются теплотой поверхностной химической реакции на поверхности частицы и стехиометрйческимц коэффициентами.

Получение и анализ решейии приведейных выше уравнений для концентрации и температуры с соответствуя щими граничными условиями, отвечающими конкретным физическим ситуациям, составляют предмет данной книги

Из анализа перечисленных упрощающих предположений и примеров постановок задач можно видеть, что круг рассматриваемых задач ограничен сравнительно простыни по физической формулировке модельными задачами тепло- и массообмена частиц с потоком для слабо «тепло- и массонапряженных» процессов в промышленных системах и природных явлениях, когда поле скоростей обтекания частиц может быть задано независимо от полей концентрации и температуры. При этом главное внимание сосредоточено на возможно более строгом и полном учете влияния особенностей гидродинамического обтекания на распределения концентраций и температуры и интенсивность массотеплообмена.

Остановимся на способах задания фигурирующей в уравнениях (1.1), (1.7) функции V от пространственных координат, которая определяет поле скоростей обтекания частицы и считается известной. В большинстве случаев в качестве V будет использоваться распределение скоростей при ламинарном режиме.

Обтекание частицы однородным поступательным на бесконечности потоком является классическим модельным примером, который во многих реальных ситуациях дает хорошее приближение к действительному течению. Наряду с поступательным потоком рассматриваются и другие достаточно простые течения около частицы [107], также близкие к реальным и позволяющие расширить число модельных гидродинамических течений, допускающих аналитическое описание конвективного массообмена частицы со средой.

Произвольное стационарное поле (безразмерных) скоростей в несжимаемой среде в окрестности некоторой точки декартовы координаты, нормированные на характерный размер частицы), принятой за начало отсчета пространственных координат, может быть приближенно представлено в виде двух членов разложения в ряд Тейлора:

Здесь безразмерные компоненты поступательной скорости и тензора сдвига, при нормировке которых в каждом конкретном случае выбираются подходящие характерные значения. По повторяющимся индексам производится суммирование; равенство нулю суммы диагональных

элементов тензора следует из условия несжимаемости жидкости, символ Кронекера.

Для частиц, размеры которых много меньше характерного пространственного масштаба неоднородности поля течения, распределение скоростей (1.11) при решении задач о вязком обтекании частицы соответствующим потоком жидкости может рассматриваться как распределение скоростей вдали от частицы. Частный случай соответствует однородному поступательному потоку. При выражение (1.11) описывает поле скоростей в произвольном линейном сдвиговом потоке.

Произвольный тензор может быть представлен в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров

В свою очередь симметричный тензор путем поворота осей системы координат может быть приведен к диагональному виду. При этом ориентация главных осей будет определяться значениями трех независимых параметров (обозначим их Диагональные элементы приведенного к главным осям тензора определяют интенсивности растягивающего (сжимающего) движения вдоль осей координат. В соответствии с условием несжимаемости только два диагональных элемента из трех будут независимы:

Компоненты антисимметричного тензора второго ранга в произвольной системе координат можно представить в виде

где компоненты вектора угловой скорости О) вращения среды как твердого тела, антисимметричный единичный тензор третьего ранга. В системе координат, совпадающей с главными осями тензора обозначим компоненты вектора через

Разбиение тензора на симметричную и антисимметричную части соответствует представлению поля скоростей линейного сдвигового течения жидкости в виде суперпозиции линейного деформационного течения растяжения-сжатия с коэффициентами растяжения по осям, равными и вращения жидкости как твердого тела с угловой скоростью о) [99]. В общем случае тензор

определяется заданием восьми независимых величин: Любой набор значений этих параметров определяет конкретный вид линейного сдвигового движения среды. Каждое из этих движений, вообще говоря, может быть принято за невозмущенное движение в задаче об обтекании частицы.

Для широкого круга задач приближенные аналитические выражения для распределения скоростей обтекания частицы поступательным или сдвиговым потоком могут быть получены в явном виде (см., например, [107]).